編者按：數(shù)學(xué)證明是追求可靠來源的，判斷一篇文章是否有可靠信息來源，須問良知，而良知就包括對公理的理解，如果證明命題成立的充分條件可追溯到能獲公理支持，我們就說，此證明有可靠信息來源。相反被叫不醒的裝睡者貼上“無可靠信息來源”的標(biāo)簽，恰恰是“無可靠信息來源”的表現(xiàn)。掩耳盜鈴，用稻草人邏輯，來屏蔽真相，都是自欺欺人，殺雞取卵的行為，用武大郎開店不想招募高個(gè)的心態(tài)，來理解世界，只能維護(hù)虛假的權(quán)威，終將失去有趣的世界。分辨到底誰在妄言科學(xué)，其實(shí)不難，就看誰在真誠解決問題誰在絕望消滅問題。比如一見有人在嘗試證明未解猜想，就立馬嘲笑說是科妄，理由是官科是不會(huì)干這事的，歐拉高斯希爾伯特干不成的事，你難道行！這就是典型的用絕望消滅問題的人，完全沒有天下興亡匹夫有責(zé)的心態(tài)。今推出一篇探討哥猜證明的花絮文章以饗讀者，歡迎提建設(shè)性意見，看看命題成立的充分條件是否可追溯到能獲公理支持。

文/羅莫

1.哥德巴赫猜想的前世今生

每個(gè)大于4的偶數(shù)都可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即p +q=2n（p、q為奇素?cái)?shù)，n為大于2的正整數(shù)）。這就是著名的哥德巴赫猜想，簡稱哥猜“1+1”。作為數(shù)學(xué)界久未解決的大問題，應(yīng)當(dāng)相當(dāng)深刻，大家對此陌生才是，而中國讀者對它家喻戶曉，只因徐遲的一篇報(bào)告文學(xué)。再加上此猜想謎底雖極難發(fā)現(xiàn)，謎面卻極其簡單，故為此而爭吵的話題也就極多。

哥德巴赫

筆者思考哥猜問題多年，在學(xué)術(shù)雜志上已發(fā)表論文多篇，并收集在了筆者的論文專著《數(shù)學(xué)底層引擎相鄰論和重合法》一書中，2019年末由深圳海天出版社出版發(fā)行。筆者認(rèn)為，要徹底弄懂它，既要閱讀專業(yè)的論文，也要閱讀花絮介紹，本文便是有關(guān)哥猜證明的花絮介紹，有利于讀者領(lǐng)悟證明。一旦領(lǐng)悟便可舉一反三，解決很多相同的問題。但在理解領(lǐng)悟前，我們要做些相反的動(dòng)作，即先反三再舉一，需要大量列舉些跟這一思想類似的事物。那我要列舉的就是如何認(rèn)知0和1，這個(gè)清楚了。奇偶關(guān)系的秘密就清晰了，質(zhì)數(shù)合數(shù)之間的關(guān)系也就清晰了。接下來我們就先說說0和1。

 宇宙的精神力量來自序數(shù)，宇宙的物質(zhì)存在來自基數(shù)?；鶖?shù)性質(zhì)更多地體現(xiàn)在了幾何中，序數(shù)性質(zhì)更多地體現(xiàn)在了代數(shù)中。1是至簡至繁的對象，也是至簡至繁的原初。那0是什么呢？0者，囹也；0者，另也。中國古人認(rèn)為，凡同音字，都有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)意義。“零”的古字寫作“霝”，始見于商代甲骨文，原義零碎細(xì)微，近代才引申為0?！傲怼笔恰坝兄狻钡囊馑?，是其它存在，并不是啥也沒有。古中國與零意相同的是“無”，比古印度0，古阿拉伯0要早。把樹枝扔火里的繁體無，繁體無好多樹枝燒沒了，變成“無”。從“有”變“無”事件，古人印象最深刻的，就是森林遇到了大火。故“無”就有“存在開始前”或“存在結(jié)束后”的意思，“無”和“0”是一種結(jié)界。針對局部已有，0它啥也不是，0是無法逃逸的“囹”，針對整體大有，0是能夠逃逸的“另”，此時(shí)對象0可用另一種1作為度量單位來認(rèn)知。

甲骨文“無”

數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)都是被迫對0進(jìn)行重估。第一次不可公度危機(jī)。原以為線條上的點(diǎn)都可以用分?jǐn)?shù)表達(dá)，分?jǐn)?shù)之外的點(diǎn)都是0，不想橫空冒出個(gè)就沒法用b/a表示，a，b為整數(shù)，用歸謬法很容易證明，如果是分?jǐn)?shù)會(huì)導(dǎo)致2因子的個(gè)數(shù)奇偶無法區(qū)分，這是奇偶悖論，本質(zhì)是有無悖論。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，爭論微積分無窮小量到底有還是沒有，結(jié)論是，靜態(tài)無，動(dòng)態(tài)有，其實(shí)就是爭論如何理解“另”和“囹”，這是動(dòng)靜悖論，本質(zhì)是有無悖論。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，爭論羅素悖論，全集是不是全集中的一個(gè)子集，這是干支悖論，祖母悖論，說謊者悖論，其本質(zhì)也是有無悖論。

歐拉

“另”之0作為其它有，并不是徹底沒有；“囹”之0作為異于有，只能是啥也沒有。0在微積分里可以做除數(shù)，選擇了并不是徹底沒有，0在微積分里被忽略掉，選擇了是一種近似計(jì)算，極限就是選擇了近似計(jì)算，是相對性啥也不是，并不是絕對性啥也不是。也就是說要承認(rèn)微積分是近似計(jì)算，才能化解第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，須引進(jìn)新符號表達(dá)新對象，才能化解無理數(shù)不可公度危機(jī)。也就是說，執(zhí)意要公度只能取近似計(jì)算。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的化解，也是需要引進(jìn)新符號表達(dá)新對象，哥德爾證明有限的符號體系是無法表達(dá)另類新對象的，從這一點(diǎn)“囹之0”來說，哥德爾的證明沒錯(cuò)?？墒恰傲碇?”的一面也就被封閉了。類比思維，近似計(jì)算，可刻畫“另之0”的一面也就擱淺了，用無限開放的新符號完成精準(zhǔn)表達(dá)更是被擠兌得無影無蹤。

哥德爾

哥德爾雖然打開了一扇窗，無意中關(guān)閉了其它所有窗。包括“可開放理解公理體系”的這扇窗。哥德爾的不完備定理，選擇了封閉理解公理體系，如果我們的公理體系是可遞歸生成新符號的，那么我們就可以用遞歸生成的新符號表達(dá)新對象。在羅素悖論中，通過定義新“同時(shí)”，理發(fā)師是可以一會(huì)兒給自己理發(fā)，一會(huì)兒不給自己理發(fā)，不在同時(shí)中完成相反命題就不會(huì)有悖論。這樣雖然沒有添加新公理，但我們可以通過高階理解已有公理來升級已有公理，如此我們就可以實(shí)現(xiàn)用新符號表達(dá)新對象的意圖?！皬氐讻]有”是對0的一次認(rèn)知選擇，但不是唯一選擇。數(shù)學(xué)要發(fā)展，就需要重估“0”，不僅可選擇理解0為“徹底沒有”（囹之0），還可選擇理解0為“另一存在”（另之0）；不僅可選擇理解“無”為“徹底荒蕪”，還可選擇理解“無”為“忽然覺悟”，即必有新意生成。

 把以上表達(dá)總結(jié)下，就是序數(shù)1和基數(shù)1，是表達(dá)已知世界的關(guān)鍵，另之0和囹之0是表達(dá)未知世界的關(guān)鍵。序數(shù)1是相鄰論（萬物有序）在已知世界中的顯現(xiàn)，基數(shù)1是重合法（眾生平等）在已知世界中的顯現(xiàn)；另之0是相鄰論在未知世界中的顯現(xiàn)，囹之0是重合法在未知世界中的顯現(xiàn)。以上雖不是證明猜想的文本語言，但明白這些數(shù)感思想，是可理解本文作者完成哥猜證明的密鑰。我們只知道時(shí)間屬于空間，卻不知道空間也屬于時(shí)間，屬于一種先天時(shí)間，既有第四維的時(shí)間，也有第一維的時(shí)間，愛因斯坦的時(shí)空觀，時(shí)間是第四維的，殊不知還有時(shí)間是第一維的時(shí)空觀。以下就來回顧下哥德巴赫猜想的前世今生。

希爾伯特

 王元在南開大學(xué)的一次談話中提到“1+1”與陳景潤的“1+2”不是一回事。世界數(shù)學(xué)共同體尚未公開宣稱過誰誰誰已完成證明了哥猜。但這并不等于世上真的就無人能證明哥猜了。非常幸運(yùn)，筆者誤打誤撞叩開了哥德巴赫猜想的神秘大門。當(dāng)然是否正確，就交給各位看官了。其實(shí)聲稱完成證明了一個(gè)猜想的人并不多，邏輯是可以自明的，因?yàn)榉磳壿嬤€得使用邏輯，將一個(gè)錯(cuò)誤的觀點(diǎn)廣而告之，絲毫沒有意義。政治和經(jīng)濟(jì)發(fā)表虛假觀點(diǎn)，尚可獲利，數(shù)學(xué)證明作假則毫無用處，發(fā)表沒有把握讓人理解的東西，真是小概率事件。為了讓更多人明白，得花時(shí)間和腦力去說服世界數(shù)學(xué)共同體充分理解哥猜證明，才能讓數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)具有社會(huì)意義。否則有識(shí)之士誰都不進(jìn)行科普耕耘，哥猜獲證的思想走進(jìn)普羅大眾的進(jìn)程會(huì)非常漫長。

 數(shù)論是研究整數(shù)的學(xué)問，初等數(shù)論是純數(shù)論，即算術(shù)數(shù)論，不要以為初等兩字就比解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論以及幾何數(shù)論淺顯，它們都可以在各自的領(lǐng)地蓋高樓，哥德巴赫猜想是純數(shù)論問題，不是解析數(shù)論的直接領(lǐng)地，但不是說數(shù)學(xué)分析就不能在數(shù)論領(lǐng)域出活，歐拉開辟了解析數(shù)論，發(fā)現(xiàn)了很多精彩的數(shù)論思想。只是用代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何以及幾何數(shù)論攻克哥猜，要比解析數(shù)論更能精準(zhǔn)打擊目標(biāo)。從哪里跌倒就從哪里爬起來，才是最優(yōu)化的選擇。追溯哥猜原題可知它是算術(shù)數(shù)論，唯有從純算術(shù)角度攻克哥猜才是成本最低的。 哥德巴赫，1690年出生于德國，后來定居俄國。他擔(dān)任十幾歲的沙皇彼得二世的家庭教師，后來擔(dān)任俄國科學(xué)院院士，他與瑞士大數(shù)學(xué)家萊昂哈德﹒歐拉（1707——1783）交往甚密，兩人不斷相互提問和解答，許多重大問題就是兩人在彼此“微信”中提出的。例如：整系數(shù)多項(xiàng)式的質(zhì)數(shù)問題。二質(zhì)數(shù)平方和的約數(shù)問題。而超級難題——哥德巴赫猜想，亦在其中。

 但也有人在早一個(gè)世紀(jì)的笛卡爾文集中發(fā)現(xiàn)證據(jù)，那時(shí)已有哥猜問題。只是數(shù)學(xué)界習(xí)慣于把哥德巴赫猜想的發(fā)現(xiàn)權(quán)歸功于十八世紀(jì)德國的哥德巴赫。哥德巴赫只發(fā)現(xiàn)了相對較容易的三素?cái)?shù)哥猜，二素?cái)?shù)哥猜是歐拉在三素?cái)?shù)哥猜的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的，而笛卡爾發(fā)現(xiàn)的哥猜，也是二素?cái)?shù)哥猜。兩個(gè)大數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都非常豐碩，用不著跟哥德巴赫搶功勞，況且該猜想確實(shí)是哥德巴赫獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，歐拉的發(fā)現(xiàn)也是在哥德巴赫的三素?cái)?shù)問題下誘發(fā)出來的，所以發(fā)現(xiàn)權(quán)歸功于哥德巴赫不為過。 1742年，哥德巴赫向比他小17歲的歐拉寫信，因?yàn)樗疾炝藥资畟€(gè)偶數(shù)：6=3+3，8=5+3，10=5+5，100=47+53，……注意到，凡是大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。他問歐拉，是否所有的偶數(shù)都可以用這種形式表示？可是譽(yù)為“分析的化身”的大數(shù)學(xué)家歐拉被哥德巴赫的挑戰(zhàn)挫敗了。 

圖靈

在當(dāng)今計(jì)算機(jī)時(shí)代，這個(gè)猜想越來越著名，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，100億以內(nèi)的偶數(shù)都是正確的。當(dāng)然靠這樣的暴力枚舉是證明不了哥猜的。哥猜命題用方程表示即p+q=2n，它從左向右看，沒有問題，所有的奇素?cái)?shù)都是奇數(shù)，兩個(gè)加起來當(dāng)然都是偶數(shù)，問題是命題從右向左看，是不是每一偶數(shù)都可以分割成兩個(gè)奇素?cái)?shù)呢？一個(gè)一個(gè)枚舉，符合要求，但要全部枚舉完，顯然不現(xiàn)實(shí)，它只能靠邏輯來解決。哥德巴赫猜想是對人的智力一種挑戰(zhàn)，能否突破它是對人類自信心的考驗(yàn)。而哲學(xué)的匱乏是不利于從根本上解決該問題的，后文將提到，哥猜原來與陽明心學(xué)“心外無物”是同一個(gè)命題。哥德巴赫本人萬萬沒有想到，他的問題讓兩百多年來的人類精英絞盡腦汁，索遍枯腸。多少代仁人志士憚精竭力的努力一次又一次地化為泡影。甚至有數(shù)學(xué)家愿意出賣靈魂來交換猜想獲證。還有數(shù)學(xué)家說，假如500年后可以復(fù)活醒來，第一件最想問的問題就是，哥猜和黎曼假設(shè)解決沒有。

哈代

哥德巴赫在1742年留下的千古難題，其實(shí)早在17世紀(jì)，“我思故我在”的笛卡爾就已思考過它，在18世紀(jì)，世上幾乎所有的最偉大的數(shù)學(xué)家都試圖證明過它，絕冠古今的德國數(shù)學(xué)家高斯玩味過它，數(shù)學(xué)之神瑞士的歐拉更是深刻地打撈過它，在法國執(zhí)牛耳的拉格朗日和天才的勒讓德，都是一愁莫展，束手無策。斗移星轉(zhuǎn)，在整個(gè)19世紀(jì)中，愛因斯坦相對論中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的創(chuàng)始人德國的黎曼，集合論創(chuàng)立者康托爾及狄利克雷，法國的阿達(dá)馬（證明素?cái)?shù)定理），劉維爾（證明超越數(shù)的存在），也思考無果，想必伽羅瓦也琢磨過，俄國的切比雪夫，維拉格拉朵夫……一代又一代天之驕子敗下陣來，人困馬乏，哥德巴赫猜想仍然固如磐石，誰也奈何不得。想用自然數(shù)去次第映射素?cái)?shù)的思想，幾乎是所有數(shù)學(xué)家的想法，偏偏此路不通。

 在進(jìn)入20世紀(jì)之初的1900年，德國萬能的數(shù)學(xué)大師希爾伯特在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，提出了著名的23個(gè)尚未解決的世界難題交給了新世紀(jì)的科學(xué)家，把哥德巴赫猜想列入了第8個(gè)問題之中。由于問題的困難性，人們普遍表示悲觀，德國的數(shù)學(xué)家朗道1912年認(rèn)為，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)所不能企及的。其實(shí)那時(shí)的凱萊已發(fā)明線性代數(shù)，希爾伯特已將內(nèi)積的思想闡釋非常深刻，諾特已將抽象代數(shù)延伸到到了數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域，攻克哥猜的數(shù)學(xué)工具已然成熟，只是大家沒有朝“那個(gè)”方向去想，沒有獲得原來如此的真相。

 1920年，挪威數(shù)學(xué)家V.布朗采用逐漸靠近的方法，把哥德巴赫猜想中的兩個(gè)素?cái)?shù)改為合數(shù)，成為“不超過n個(gè)素?cái)?shù)的乘積”，他自己首先證明了“9+9”，注意，這里的“9”不是固定的9，而是從1到9，可以是1，2，3，…，9。但不超過9，稱之為“殆素?cái)?shù)”，意思是很像素?cái)?shù)。后來的數(shù)學(xué)沿著這樣的思路，取得了一系列的進(jìn)展，但距離真正拿下哥猜相距甚遠(yuǎn)。

山東大學(xué)校長潘承洞曾證明了”1+4”。中科院院士王元曾證明了“2+3”。 1966年陳景潤證明了“每個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和（簡稱“1+2”。此事被國際數(shù)學(xué)界注意后，也引起了毛澤東主席和一批中央領(lǐng)導(dǎo)的重視。使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界領(lǐng)先地位。這一結(jié)果被譽(yù)為“陳景潤定理”。這項(xiàng)工作還使陳景潤與王元（中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所長，院士），潘承洞（山東大學(xué)校長，院士）在1982年共同以“哥德巴赫猜想”的名義，獲得國家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)。 1996年3月19日13時(shí)，陳景潤院士因?yàn)榕两鹕喜尵葻o效離開了人世，中央政府，社會(huì)團(tuán)體及新聞媒體給予了他極高的評價(jià)，幾乎所有報(bào)刊和電臺(tái)都進(jìn)行了報(bào)道，中央領(lǐng)導(dǎo)人和人民群眾自發(fā)地送了花圈，以悼念這位科學(xué)界的楷模，青年知識(shí)分子心目中的偶像。1977年作家徐遲的一篇報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》引起了轟動(dòng)，該文為迎來中國科學(xué)的春天吹響了號角，當(dāng)時(shí)遭文革重創(chuàng)大量被打趴下的知識(shí)份子開始起身站立。很多人有哥猜情結(jié)就發(fā)軔于該文。學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕，開始在社會(huì)上流行。

陳景潤1933年5月22日出生于福建省福州市，1953年畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系，由于他對塔利問題的一個(gè)結(jié)果作了改進(jìn)，受到了華羅庚教授的重視，被調(diào)到了中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作。先擔(dān)任實(shí)習(xí)研究員，助理研究員，再提升研究員。后當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部委員“院士”。60年代，他對篩法及其有關(guān)重要問題進(jìn)行研究。

陳景潤

但陳景潤從未聲稱自己證明了“1+1”，而是證明了“1+2”，是哥猜的一個(gè)弱猜想，也沒有說弱猜想距離真正的哥德巴赫猜想僅有一步之遙，因?yàn)椴皇峭患墑e的問題，沒有找到階梯和度量單位，描述遠(yuǎn)近毫無意義。陳景潤自認(rèn)為，用他目前的工具破解不了哥猜，騎自行車上不了月亮，可見弱哥猜與哥猜原題不是一步之遙的問題。僅看文藝作品了解學(xué)術(shù)問題的人推波助瀾，解讀不準(zhǔn)，誤以為哥猜已獲破解或接近破解。這完全不是陳景潤想要竊取榮譽(yù)，而是輿論強(qiáng)加于他的。 陳景潤定理的“1+2”結(jié)果，通俗地說是指：對于任給一個(gè)大偶數(shù)，那么總可以找到奇素?cái)?shù)p1和奇素?cái)?shù)p2或兩素?cái)?shù)構(gòu)成的奇合數(shù)p2·p3，使得下列等式成立：n=p1+p2·p3（合數(shù)中的兩因子或可僅取一個(gè)）。

 陳景潤定理在數(shù)論中依然是很有意義的，不象某些人所批評的那樣，中國數(shù)學(xué)界在搞偶像造假。英國的數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德將命題從另一角度進(jìn)行簡化，將偶數(shù)n表示成若干個(gè)素?cái)?shù)之和，n=p1+p2+p3+......+pn，從1930年到1976年把80萬個(gè)素?cái)?shù)逼近到6個(gè)素?cái)?shù)。作出努力的有蘇聯(lián)，德國，意大利，美國和中國的科學(xué)家，但這并不是哥德巴赫猜想，因?yàn)樗財(cái)?shù)個(gè)數(shù)只有是2時(shí)才是哥德巴赫猜想。但也不是勞而無功，以此可以窺探到一些素?cái)?shù)性質(zhì)，有利于找到新的思路。事實(shí)上，從加項(xiàng)數(shù)逼近比從因子數(shù)逼近要有意義得多。哥猜問題的本質(zhì)是加性數(shù)論，所有的高級運(yùn)算都是從初級運(yùn)算出發(fā)的，因此高級運(yùn)算的特征，都濃縮在加法運(yùn)算中，數(shù)學(xué)家每次對加法有新的認(rèn)知，數(shù)學(xué)發(fā)展就會(huì)向前邁進(jìn)一大步。 

黎曼

2. 哥德巴赫猜想的完美證明

凡事知其然，就一定能知其所以然。像這樣的哥猜懸案，探索了幾百年而無果的，只有費(fèi)馬猜想有的一拼，它們均出自十七至十八世紀(jì)的法國。哥猜之所以名氣大，一是題面簡單，小學(xué)生都能看懂，二是關(guān)心過它的數(shù)學(xué)家多，十八世紀(jì)以來幾乎一流的數(shù)學(xué)家都思考過它，三是問題根本，它跟很多命題相關(guān)，哥猜若解決，一大堆丟潘圖問題就都能迎刃而解了。

 可是名氣大，是把雙刃劍，即吸引了數(shù)學(xué)家去關(guān)心它，但也把一些高端數(shù)學(xué)人士嚇走了。有些數(shù)學(xué)教授就公開說，若有數(shù)學(xué)愛好者向我提交哥猜這樣的論文，我是不會(huì)看的，別的論文我會(huì)接過來審讀。為何會(huì)有這樣的消極態(tài)度呢？因?yàn)榕龅降拇蠖际前衙}變?nèi)醯母绮抡撐?，如陳景潤?+2，自稱把哥猜原題拿下的很少。數(shù)學(xué)家都不想耽誤時(shí)間，于是就分成了兩大派，一是，知其難而退的人，會(huì)謝絕審讀這樣的論文，自己也不會(huì)花時(shí)間去研究；二是，知其難而想解決問題的人，因?yàn)樽约簺]解決，故常會(huì)輕視同行的研究，尤其是社會(huì)地位不及自己的，更是不屑一顧，有這樣的稿件過來都會(huì)棄之紙簍。這是正常的選擇，避開做小概率事件，跟學(xué)術(shù)道德無關(guān)。這個(gè)是有先例的，連柯西和高斯這樣的數(shù)學(xué)大成就者，一樣把伽羅瓦能開創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的群論文章，看也不看就當(dāng)垃圾處理。因此哥猜名氣大，并沒有催生出金蛋來。

 好的數(shù)學(xué)思想，要走科普的道路，我們寄希望于好學(xué)的數(shù)學(xué)工作者，有朝一日能看懂，尋找大咖認(rèn)可極其困難。假如伽羅瓦的文章不是被好友發(fā)在三流的刊物上，劉維爾就無法發(fā)現(xiàn)到它，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生就要推遲百年。佩雷爾曼當(dāng)年證明龐加萊猜想的論文也是發(fā)在預(yù)印本上，然后才被數(shù)學(xué)共同體接受的，也都是第一時(shí)間不能找到同行權(quán)威認(rèn)可，不得不走曲折傳播的道路。有意思的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)者幾乎都不約而同地選擇了，順其自然的科普方式，先讓有緣人去閱讀它，說不定哪天就能讓數(shù)學(xué)大家看見。即便數(shù)學(xué)大咖沒看見，有同行看懂就行。因此去中心化的思想是偉大的，它能讓新生事物有一席之地，并能獲得包容性成長。如今哥猜證明出來了，但僅在小范圍內(nèi)科普。

 本文作者通過化約偶數(shù)分割方程，經(jīng)數(shù)乘逆運(yùn)算或叉乘逆運(yùn)算得到不可約整系數(shù)多項(xiàng)式方程，可知奇數(shù)互素解集是偶數(shù)分割方程的本原解；經(jīng)點(diǎn)乘逆運(yùn)算得到無合數(shù)整系數(shù)多項(xiàng)式方程，可知素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系是偶數(shù)分割方程的簡單本原解。由于可表偶數(shù)的定義表達(dá)就是簡單本原解，故與可表偶數(shù)互補(bǔ)關(guān)系的例外偶數(shù)就一定是空集，從而證明了二元加法運(yùn)算在可表偶數(shù)上封閉。由于此引理獲證，可多米諾骨牌式地解決哥德巴赫猜想、齋藤猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、波利尼亞克猜想、莫德爾猜想、費(fèi)馬猜想、比爾猜想、abc猜想、奧波曼猜想和黎曼猜想等難題。

 如何將證明可以向大眾講清楚呢？這么說吧，只要數(shù)學(xué)史學(xué)到希爾伯特那就可以理解哥猜證明了，哥猜是希爾伯特向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出的23個(gè)數(shù)學(xué)難題中的第八個(gè)問題，其實(shí)用希爾伯特的數(shù)學(xué)思想就足以證明哥猜。真是解鈴還須系鈴人啊。希爾伯特要是能醒來看到哥猜證明，會(huì)撲哧一笑的，原來數(shù)學(xué)家一直在騎驢找驢呢！希爾伯特的內(nèi)積思想太偉大了，后文將用此思想解決哥猜。

 所有的兩奇素?cái)?shù)相加都可以得到偶數(shù)，這個(gè)沒問題，所有不小于8的偶數(shù)都能分割成兩個(gè)不同的奇素?cái)?shù)，這個(gè)就不好說，萬一有一例外呢？好吧，那就假設(shè)有例外偶數(shù)是不能用兩不同奇素?cái)?shù)成功分割的?，F(xiàn)在好了，所有不小于8的偶數(shù)就分成了兩大部分，一是能夠用兩不同奇素?cái)?shù)相加之和（或相減之差）表達(dá)的偶數(shù)，叫可表偶數(shù)，另一就是不能如此表達(dá)的，叫例外偶數(shù)。它們的并集是不小于8的全集偶數(shù)（先只討論加法可表偶數(shù)，減法亦同，后文省略）。而小于8的偶數(shù)我們單個(gè)討論，6可以3+3獲得，但非不同的奇素?cái)?shù)，4可以2+2獲得，也非不同的奇素?cái)?shù)，且還是偶素?cái)?shù)，2可以1+1獲得，但1即不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。所以我們僅從8開始討論所有偶數(shù)。

 各位看官，注意到?jīng)]有，咱不是避重就輕改頭換面去證明哥猜弱猜想，然后由農(nóng)村包圍城市。咱是反過來，避輕就重，打不贏連長，就挑戰(zhàn)營長，打不贏營長，就挑戰(zhàn)團(tuán)長。歐拉型的哥猜不好證明，咱就去證明比歐拉型哥猜更根本的問題。而互素型哥猜，就比歐拉型哥猜根本得多，歐拉型哥猜對兩素?cái)?shù)是否相同，不限制，互素型哥猜必須兩素?cái)?shù)是不一樣的，顯然難度加大了，互素型哥猜成立，歐拉型哥猜就成立，但歐拉型哥猜成立，互素型哥猜未必成立。就像1+1與1+2一樣不是一回事，但1+1成立，1+2就成立，反之則推不出。本文證明，是直奔互素型哥猜而去的。

 所有不小于8的偶數(shù)都可以至少用一對不同的奇素?cái)?shù)之和表示，這就好比用偶數(shù)表示人類的這一代所有成員，那么每個(gè)人類成員都可以找到自己相匹配的上一代用奇素?cái)?shù)表示的一對父母，當(dāng)然還可以找到更多的養(yǎng)父養(yǎng)父。每個(gè)不小于8的偶數(shù)都有一對共軛差最小且不為0的奇素?cái)?shù)對，這就好比人類成員都有對應(yīng)的上一代父母。證明哥猜，就相當(dāng)于證明人類每個(gè)成員都有一對父母，即單親繁殖和多親繁殖是不存在的。如果真有單親繁殖，一定是隱性包含了血緣雙親，如果真有多親繁殖，一定是隱性包含了養(yǎng)父養(yǎng)母和雙親，即無父無母的生命是找不到的，證明哥猜就是證明這個(gè)思想，就是證明例外偶數(shù)是空集，即所有不小于8的偶數(shù)都是可表偶數(shù)。

 證明例外偶數(shù)是空集的思想，就是證明心外無物，就是證明沒有父母就沒有人類，就是證明沒有內(nèi)涵就沒有外延。凡價(jià)值對象經(jīng)區(qū)塊鏈保證都能成為比特幣，這一點(diǎn)沒問題，是不是所有的比特幣都是由區(qū)塊鏈點(diǎn)對點(diǎn)生成的呢？哥猜就是要證明，脫離區(qū)塊鏈點(diǎn)對點(diǎn)生成的比特幣是不存在的。凡有價(jià)值的對象皆有底層映射。你想不效忠底層映射都不行，因?yàn)闄C(jī)器信用會(huì)幫助你效忠。沒有點(diǎn)對點(diǎn)私密支持的合約是不存在的。

 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是，“二元加法運(yùn)算在可表偶數(shù)上封閉”。該命題可用偶數(shù)分割方程的素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系和通解之間的內(nèi)積運(yùn)算獲得證明。尤其是可表偶數(shù)和例外偶數(shù)與素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系之間存在著一榮俱榮一損俱損的緊密關(guān)聯(lián)。可表偶數(shù)與例外偶數(shù)的互補(bǔ)定義，決定了例外偶數(shù)無素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系，例外偶數(shù)的通解也就成了空集。而可表偶數(shù)就責(zé)無旁貸地囊括了全集偶數(shù)的通解，從而證明了可表偶數(shù)的數(shù)乘封閉，即二元加法運(yùn)算在可表偶數(shù)上不存在數(shù)域擴(kuò)張和數(shù)域縮減。

 該引理獲證，可解決哥德巴赫猜想、齋藤猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、波利尼亞克猜想、莫德爾猜想、比爾猜想、abc猜想、奧波曼猜想和黎曼猜想等難題。現(xiàn)證明如下：

 2.1.把任意整數(shù)分割為兩個(gè)不同整數(shù)的三元方程化約為互素方程.

 所有大于3的等量連接都可以用不等量連接來優(yōu)化構(gòu)造。等量連接和不等量連接之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是理解萬物的樞紐。

 于是就有了素?cái)?shù)的定義：除1和自身外不能被其它整數(shù)整除的數(shù)叫素?cái)?shù)。雖有循環(huán)定義之嫌，但還是刻畫了素?cái)?shù)的本質(zhì)。這里補(bǔ)充另一個(gè)更精準(zhǔn)的定義：除用1外不能用其它整數(shù)等量分割的數(shù)叫素?cái)?shù)?？梢圆坏攘糠指畹臄?shù)未必是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)是僅能不等量分割的數(shù)，除用1外。前者用乘法的逆運(yùn)算定義，后者用加法的逆運(yùn)算定義。有了對素?cái)?shù)的更深理解，我們再來考察整數(shù)。本文的運(yùn)算對象，除特別說明外，皆在整數(shù)范圍內(nèi)。

 有人認(rèn)為哥猜表達(dá)式很怪異，素?cái)?shù)是用來乘的，不是用來加的，而素?cái)?shù)的新定義是加法定義的，原來素?cái)?shù)性質(zhì)也體現(xiàn)在加法功能中。素?cái)?shù)是不等量分解的產(chǎn)物，也是不等量分割的產(chǎn)物。這個(gè)思想是找到素?cái)?shù)之礦的挖掘機(jī)，有了這個(gè)思想的靈光一現(xiàn)，于是就產(chǎn)生了整數(shù)的不等量分割方程，這直接導(dǎo)致了哥猜的破解。

 可見如何對事物下定義對成功解決問題是多么重要。本文不是證明哥猜的學(xué)術(shù)論文，相關(guān)學(xué)術(shù)論文已發(fā)表在《深圳基礎(chǔ)理論原創(chuàng)文集》（數(shù)學(xué)物理卷）（海天出版社2017年5月出版）以及其它學(xué)術(shù)雜志和預(yù)印本上。本文不是干貨，是水貨，允許啰哩啰唆地表達(dá)，只求讀者最后能理解。帶點(diǎn)情感表達(dá)，讀者更容易明白，閱讀完美的干貨不容易看懂，因?yàn)檩o助線都被作者完工后涂掉了，其實(shí)讀者更喜歡那些不“過河拆橋”的作者，好知道每個(gè)環(huán)節(jié)的來源。而某些引理已看懂的讀者自然會(huì)選擇跳讀。好了，現(xiàn)開始進(jìn)入正題。

 對整數(shù)c進(jìn)行不等量二元分割，便產(chǎn)生了較大的a與較小的b,于是有了三元方程a+b=c，分割后有四種組合，偶+偶=偶，奇+偶=奇，奇+奇=偶，偶+奇=奇，化約該方程，得到奇+奇=偶，或奇+偶=奇，移項(xiàng)得到奇-奇=偶，即兩類情形，其中三元互素。故整數(shù)分割方程的通解就是兩互素的奇數(shù)之和等于2n，或兩互素的奇數(shù)之差等于2n。兩個(gè)方程都能得到偶數(shù)通解和奇數(shù)通解。于是討論偶數(shù)分割就解決了整數(shù)分割。

 也就是說，可用非1的等量分割所有的2n。若n是偶數(shù)，針對兩個(gè)n通過減1加1或加減其它數(shù)，即可完成對2n的不等量分割，其中n大于3；若n是奇數(shù)，針對兩個(gè)n通過減2加2或加減其它數(shù)，即可完成對2n的不等量分割，其中n大于3.總之，每個(gè)不小于8的偶數(shù)都可以用兩個(gè)不同的互素奇數(shù)分割。

 以下是三元方程2n的通解表達(dá)：

p1^a1p2^a2p3^a3......pi^ai k+ q1^b1q2^b2q3^b3......qi^bik=2n（當(dāng)非互素時(shí)有共因子k，2n為不小于8的全體偶數(shù)，p為素?cái)?shù)，a為正整數(shù)）。

然后會(huì)得到三元方程2n的本原解表達(dá)：

 ap+bq=2n（即方程兩邊進(jìn)行數(shù)乘逆運(yùn)算或叉乘逆運(yùn)算把上式變?yōu)椴豢杉s多項(xiàng)式方程，就是將整系數(shù)多項(xiàng)式方程約掉公因子或公因式）。

 （其中p、q為互素的奇素?cái)?shù)，a、b為互素的自然數(shù)，n為＞3的全部自然數(shù)）

每次令第一項(xiàng)與2n互素，必三元互素，否則有分?jǐn)?shù)，這與差值必有整數(shù)解矛盾。

故2n的分割方程其本原解全集就是本原解方程中的2n項(xiàng)自身，與原方程右邊2n的全部解集一樣，未發(fā)生數(shù)域擴(kuò)張或數(shù)域縮減。

 因n與2n之間定有大于n的新素?cái)?shù)（伯特蘭定理），故每個(gè)偶數(shù)都可以分割為兩個(gè)互素的奇數(shù)項(xiàng)相加。

 每次2n減去該新素?cái)?shù)p所得到的奇數(shù)差值bp必與該新奇素?cái)?shù)互素。因?yàn)樾滤財(cái)?shù)p與2n互素，就必與差值互素。新素?cái)?shù)p為何會(huì)與2n互素，因?yàn)槠嫠財(cái)?shù)p大于n，所以2p大于2n，即p乘以任何整數(shù)也不能等于2n，故2n會(huì)與p互素。2n-p=bq，2n必與bq互素。

 總之，每一個(gè)偶數(shù)都能成功地分割為兩個(gè)互素奇數(shù)之和或兩個(gè)互素奇數(shù)之差。保證了原分割方程2n的本原解解集也是偶數(shù)全集。即ap+bq=2n或ap-bq=2n，其中p、q屬于所有奇素?cái)?shù)，n屬于大于3的所有自然數(shù)，a、b屬于所有自然數(shù)，a=1，p＞bq時(shí)，大于等于8的每個(gè)偶數(shù)2n至少各有一組互素奇數(shù)的分割解。

 本原解方程的表達(dá)雖沒有唯一性，但表達(dá)本原解的全集方程具有唯一性。重要的話，不怕再啰嗦一句：不小于8的全體偶數(shù)都可以分割成互素的奇數(shù)之和。這是偶數(shù)分割方程的本原解方程，也就是說，偶數(shù)分割方程的通解方程與偶數(shù)分割方程的本原解方程，存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，偶數(shù)的通解表達(dá)式可以線性映射到偶數(shù)的本原解表達(dá)式上。

 得到這個(gè)結(jié)論是非常重要的，雖然這個(gè)結(jié)論用陳景潤定理也可以推理出來，但僅在充分大的前提下推得，不像本文推得的結(jié)論，是在不小于8的偶數(shù)范圍里成立的，因此本文推理得到的結(jié)論更強(qiáng)。這意味著每個(gè)偶數(shù)都可以分割成互素的兩部分，踏上了最后能分割成兩互素的奇素?cái)?shù)之和的道路。不等量分割是從加性的角度尋找素?cái)?shù)的方法，這個(gè)思想非常重要。

不難證明它們是同構(gòu)映射關(guān)系。

 因?yàn)榕紨?shù)的通解表達(dá)式映射到偶數(shù)上是同態(tài)的，偶數(shù)映射到偶數(shù)的本原解表達(dá)式上也是同態(tài)的，故偶數(shù)的通解表達(dá)式映射到偶數(shù)的本原解表達(dá)式上也是同態(tài)的。（傳遞性法則）

另外，偶數(shù)的本原解表達(dá)映射到偶數(shù)上是同態(tài)的，偶數(shù)映射到偶數(shù)的通解表達(dá)式上也是同態(tài)的，故偶數(shù)的本原解表達(dá)式映射到偶數(shù)的通解表達(dá)式上也是同態(tài)的。（傳遞性法則）

故偶數(shù)通解和偶數(shù)本原解之間是同構(gòu)關(guān)系，是一榮俱榮一損俱損的。這就意味著找不到本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相應(yīng)的本原解。

 2.2.再把全集偶數(shù)2n分割得到的本原解方程化約為簡單本原解方程.

 由于本原解三元方程，大家都比較熟悉，上文沒有對本原解三元方程的定義加以說明，這里補(bǔ)充說明下，整系數(shù)三元互素的方程就是本原解三元方程，而有公因子或公因式的整系數(shù)三元方程就是通解三元方程。2.1證明了，三元通解方程與三元本原解方程是同構(gòu)表達(dá)不小于8的全體偶數(shù)的。

 接下來，我們來定義兩個(gè)新概念，就是簡單本原解三元方程和最簡本原解三元方程。先定義下簡單本原解整系數(shù)三元方程，偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式是由原來的偶數(shù)本原解表達(dá)式而來，在本原解表達(dá)式的基礎(chǔ)上，方程左邊二元多項(xiàng)式各元僅保留一個(gè)奇素?cái)?shù)，方程右邊單項(xiàng)式偶數(shù)變?yōu)榭杀砼紨?shù)（即例外偶數(shù)是可表偶數(shù)關(guān)于不小于8的全集偶數(shù)上的補(bǔ)集），也就是奇素?cái)?shù)與奇素?cái)?shù)加減得到可表偶數(shù)的方程，叫偶數(shù)的簡單本原解三元方程。再說說最簡本原解三元方程，偶數(shù)的最簡本原解表達(dá)式是由偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式而來，在簡單本原解表達(dá)式的基礎(chǔ)上，方程左邊二元多項(xiàng)式繼續(xù)分解化約，最后各元僅保留一個(gè)奇素?cái)?shù)，方程右邊單項(xiàng)式偶數(shù)由原來的可表偶數(shù)變?yōu)閮H有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子一個(gè)偶素?cái)?shù)因子的可表偶數(shù)，也就是奇素?cái)?shù)與奇素?cái)?shù)加減得到奇素?cái)?shù)的2倍，叫偶數(shù)的最簡本原解三元方程。

 由ap-bq=2cm=2n或ap+bq=2cm=2n 可知，三元方程增廣向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）與向量（a，b，c）T是一對正交基，（a，b，c）T為線性無關(guān)組。故增廣向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）為線性相關(guān)組（其中a，b，c為所有正整數(shù)）。也可以說，2n可由素?cái)?shù)向量組（p、-q）或（p、q）線性表示。一對正交基有可能都是線性相關(guān)的，有可能都是線性無關(guān)的，也有可能一個(gè)線性相關(guān)，一個(gè)線性無關(guān)。但2n分割方程在素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的內(nèi)積分解中，向量（a，b，c）T都是正數(shù)，肯定是線性無關(guān)的，向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）有正有負(fù)，且奇數(shù)加奇數(shù)是一定會(huì)等于偶數(shù)的，故存在線性相關(guān)。素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系向量組（p、-q）或（p、q）是線性無關(guān)的，但素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系增廣向量組是線性相關(guān)的。只有基礎(chǔ)解系增廣向量組是線性相關(guān)的，才可做原方程的簡單本原解方程，而基礎(chǔ)解系的增廣向量組未必都線性相關(guān)，如向量（p、-q，-2），除非p、q的奇素?cái)?shù)域可包含單位素?cái)?shù)1，僅限于特殊偶數(shù)4、6可用單位素?cái)?shù)1來進(jìn)行不等量分割表示，其中唯有特殊偶數(shù)2，無法完成不等量分割。

 還已知，用兩素?cái)?shù)相加所得到的偶數(shù)定義為廣義可表偶數(shù)。如，2+2=4，3+3=6，3+5=8等，其中4，6，8就是廣義可表偶數(shù)。這里的2為偶素?cái)?shù)，3+3為相同的奇素?cái)?shù)相加，以上兩例皆屬非互素二元相加，而3+5=8才是互素的二元相加。我們把兩個(gè)不同的奇素?cái)?shù)相加所得到的偶數(shù)，定義為狹義可表偶數(shù)，表達(dá)式是：

 p-q=2m或p+q=2m（?奇素?cái)?shù)p、q，且p≠q，?正整數(shù)m≥4）；這里所說的可表偶數(shù)，一般特指兩素?cái)?shù)相加或相減所得到的可表偶數(shù)。從p-q=2m或p+q=2m可知，2m數(shù)乘c可還原等于2n，即2n的通解是2m被c數(shù)乘，2m是本原解方程、也是原方程的素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系，其中p、q為奇素?cái)?shù)，即用兩素?cái)?shù)分割可表偶數(shù)的方程就是大于6的所有偶數(shù)2n的簡單本原解方程。

 由于可表偶數(shù)的定義就是可用兩互素的奇素?cái)?shù)之和或之差表示的偶數(shù)，故p-q=2m或p+q=2m就是可表偶數(shù)方程，不能用該兩奇素?cái)?shù)之和形式表達(dá)的偶數(shù)，叫例外偶數(shù)。

 也就是說，系數(shù)向量（a，b）T為（1，1）T時(shí)，可表偶數(shù)方程p-q=2m或p+q=2m就是通解方程ap-bq=2n或p+q=2m的素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程；同樣，原偶數(shù)分割方程ap-bq=2n或ap+bq=2n就是素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程p+q=2m的通解方程。2n向量存在由素?cái)?shù)向量組線性表示，是素?cái)?shù)向量組的線性組合，正整數(shù)向量（a、b）為組合系數(shù)。

 為何不小于8的全集偶數(shù)一定有素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程，即素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的增廣向量線性組是線性相關(guān)的，因?yàn)槠嫠財(cái)?shù)加奇素素一定是偶數(shù)，該偶數(shù)至少是全集偶數(shù)的子集，而根據(jù)算術(shù)基本定理，偶數(shù)的本原解子集經(jīng)數(shù)乘可還原得到不小于8的偶數(shù)全集，故一定存在素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程。從偶數(shù)全集到偶數(shù)的子集，從偶數(shù)子集到偶數(shù)全集，在偶數(shù)分割方程中簡化和還原互為逆運(yùn)算。

 此時(shí)系數(shù)向量為（1，1）T，它就是2n的簡單本原解方程。分量2n/c（可被c整除時(shí)）或2nc即2m可由素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系向量（p、-q）或（p、q）的兩個(gè)分量之差或之和表示，這就是關(guān)于2n分割方程的簡單本原解定義?？梢娪型ń饩鸵欢ㄓ斜驹?，有本原解就一定有簡單本原解。那例外偶數(shù)作為偶數(shù)的一種，也必然存在簡單本原解，即2m’c或2m’/c理應(yīng)可由素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系向量（p、-q）或（p、q）的兩個(gè)分量之差或之和表示，同時(shí)2m’c∈2m’，2m’/c∈2m’，是例外偶數(shù)范疇中的簡單本原解。

 表達(dá)偶數(shù)簡單本原解（即素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系）的三元方程沒有唯一性，表達(dá)偶數(shù)簡單本原解的三元全集方程具有唯一性；表達(dá)偶數(shù)通解的三元方程沒有唯一性，表達(dá)偶數(shù)通解的三元全集方程具有唯一性。其簡單本原解三元方程規(guī)定，左邊兩項(xiàng)為奇素?cái)?shù)，右邊一項(xiàng)為可表偶數(shù)。

根據(jù)可表偶數(shù)的定義可知，偶數(shù)分割方程的本原解方程，即所有奇素?cái)?shù)兩兩互素相加所得的和2m，就是可表偶數(shù)方程。2m’為不同于可表偶數(shù)的例外偶數(shù)，那2m就是偶數(shù)2n分割方程的簡單本原解。 2m’根據(jù)定義則不是。

 重要的話，不怕再啰嗦，特此聲明：不小于8的全集偶數(shù)都有且必有簡單本原解，經(jīng)線性映射而得到。

 2.3.例外偶數(shù)2m’不存在最簡本原解，無互素對之和可表2倍素?cái)?shù).

 根據(jù)全集偶數(shù)是一定有簡單本原解的判定，可知2m’也一定存在2m’/c=p±q或2m’c=p±q，如此這般的簡單本原解，其中2m’c或2m’/c必須屬于2m’，因?yàn)樽鳛槿我馀紨?shù)2n除以c或乘以c后得到2m是一定有簡單本原解的，但2m’作為非可表偶數(shù)，沒有簡單本原解，其除以c或乘以c后所得到的2m’的子集也就肯定沒有簡單本原解。因?yàn)橥ń馐呛唵伪驹獾某浞謼l件，是單同態(tài)的，簡單本原解是通解的必要條件,是滿同態(tài)的，兩者是單滿射的同構(gòu)關(guān)系。例外偶數(shù)作為通解沒有本原解是可表偶數(shù)，也沒有簡單本原解是可表偶數(shù)。例外偶數(shù)的定義是，偶數(shù)中的非可表偶數(shù)，叫例外偶數(shù)，2n=2m∪2m’，2m∩2m’= ?。思考可表偶數(shù)與例外偶數(shù)是解決哥猜問題的關(guān)鍵。

 其中可表偶數(shù)方程就是全集偶數(shù)方程的簡單本原解方程，它的簡單本原解就是素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系，刻畫全部偶數(shù)的奇數(shù)一般解集是原方程通解。經(jīng)過數(shù)乘逆運(yùn)算或叉乘逆運(yùn)算化約后得到不可約多項(xiàng)式方程，刻畫全部偶數(shù)的奇數(shù)互素解集是本原解解集；經(jīng)過點(diǎn)積逆運(yùn)算化約后得到無合數(shù)多項(xiàng)式方程，刻畫全部偶數(shù)的素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系是簡單本原解解集。

 可表偶數(shù)關(guān)聯(lián)定理：偶數(shù)通解解集確定的三元方程有且僅有相應(yīng)數(shù)乘線性映射而確定的偶數(shù)簡單本原解解集.

 莫小看這個(gè)命題，它可得到很多驚悚的結(jié)果。這個(gè)命題的證明是這樣的，在三元方程a-b=c或a+b=c中，a＜b＜c，不論c是奇數(shù)還是偶數(shù)，必存在a≠b，因a=b時(shí)就會(huì)合并為非三元方程，況且前文還證明了凡等量分割皆有不等量分割的等價(jià)形式。既然c有不等量分割的通解，經(jīng)化約后a、b必有不同的素因子，而有不同的素因子，就相應(yīng)地有互素的本原解解集，即a-b=c或a+b=c等價(jià)于kx-ky=kz或kx+ky=kz，其中x、y、z三元互素，k為正整數(shù)，x-y=z或x-y=z就是a-b=c或a-b=c的唯一本原解方程。有本原解解集就必有簡單本原解解集，因?yàn)榉匠堂恳豁?xiàng)的合數(shù)都含素因子。于是定理“一個(gè)有通解的三元整系數(shù)方程必有簡單本原解解集”就得到了證明，它的逆命題也成立，因?yàn)檎麛?shù)分割方程是左右同構(gòu)的，化約后的本原解方程也是左右同構(gòu)的，其簡單本原解方程即可表偶數(shù)方程也是左右同構(gòu)的，故有唯一簡單本原解解集就有唯一本原解解集，有唯一簡單本原解解集就有唯一通解解集?？梢姳驹夥匠膛c簡單本原解方程是同構(gòu)命題。

 進(jìn)一步可知，有簡單本原解解集就必有最簡本原解解集，兩類方程也是同構(gòu)命題。因?yàn)樗財(cái)?shù)基礎(chǔ)解系的增廣項(xiàng)可通過內(nèi)積逆運(yùn)算提取出奇素?cái)?shù)因子，直到僅剩下一個(gè)奇素?cái)?shù)因子，即素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的2w增廣向量組就是最簡本原解解集。于是我們得到一個(gè)推論，即可表偶數(shù)關(guān)聯(lián)定理：“通解解集確定的三元整系數(shù)方程有且僅有相應(yīng)數(shù)乘確定的最簡本原解解集”。

 整數(shù)分割方程各項(xiàng)都有素因子就可進(jìn)行點(diǎn)積逆運(yùn)算，得到一組含素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系增廣向量的正交基，當(dāng)該增廣向量含一個(gè)負(fù)偶數(shù)分量時(shí)，必線性相關(guān)，就能得到素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程，而素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系為最大線性無關(guān)。即 x-y=z或 x+y=z等價(jià)于rp-sq=t2w或rp+sq=t2w，其中p、q、w三元互素，r、s、t為正整數(shù)，且p、q皆為所有奇素?cái)?shù)，2m為可表偶數(shù)，即里頭的偶數(shù)可以二元分割出所有的奇素?cái)?shù)，p-q=2m或p+q=2m就是x-y=z或x+y=z的簡單本原解方程。當(dāng)m僅為奇素?cái)?shù)w時(shí)，存在p-q=2w或p+q=2w就是x-y=z或x+y=z的最簡本原解方程。（p,-q）也叫原偶數(shù)分割方程的素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系。有了最簡本原解方程，就可以反過來探知可表偶數(shù)的更多性質(zhì)。

 因?yàn)楦鶕?jù)算術(shù)基本定理，通解必是各元最簡本原解的數(shù)乘組合以及內(nèi)積組合，或者說是叉乘或點(diǎn)乘的組合，叉乘包含純量數(shù)乘，由于乘法須滿足交換律和結(jié)合律，故數(shù)乘、叉乘和點(diǎn)乘僅在各組相乘素因子定義域的交集范圍里才成立，比如說最簡本原解中w范圍里不允許有的素?cái)?shù)，數(shù)乘t中也不能含有。在最簡本原解方程的基礎(chǔ)上通過點(diǎn)乘就可得到簡單本原解方程，即可表偶數(shù)方程。

 通過可表偶數(shù)方程p-q=2m或p+q=2m的定義可知左邊包含所有的奇素?cái)?shù)，右邊是否全部包含所有奇素?cái)?shù)因子，還暫時(shí)無法判定，從左到右的素?cái)?shù)域還只知是同態(tài)關(guān)系。簡單本原解方程的更多性質(zhì)是通過最簡本原解方程的性質(zhì)來獲悉的。

 從最簡本原解方程可得到，素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系2倍的素?cái)?shù)增廣項(xiàng)，繼而推論出，素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程p-q=2w或p+q=2w中，w一定包含了所有的奇素?cái)?shù)。

 我們已經(jīng)證得所有偶數(shù)集2n定能可窮分類為可表偶數(shù)與可表偶數(shù)的數(shù)乘兩部分，因?yàn)榕紨?shù)分割方程右邊偶數(shù)部分的簡單本原解解集2m≠｛2，4，6，2n+1｝，所以簡單本原解2m無論乘以多少非1的自然數(shù)都無法獲得2w。而根據(jù)簡單本原解的推理結(jié)論2n=2cm，除非2m的數(shù)乘2cm，其中c為單位素?cái)?shù)1時(shí)，2w是2n的子集；c取非1時(shí)2w不存在，故2w∈2m，w就一定包含了所有的奇素?cái)?shù)因子和偶素?cái)?shù)因子以及單位素?cái)?shù)因子,否則2n就不能囊括所有偶數(shù)，由此證明了所有的2w都不是靠2m與非1數(shù)乘所獲得的數(shù)。這就證明了可表偶數(shù)方程p-q=2m或p+q=2m（p、q為奇素?cái)?shù)，m大于3）中的左右奇素?cái)?shù)因子域不僅是單同態(tài)關(guān)系，還是同構(gòu)關(guān)系，因?yàn)榭杀砼紨?shù)2m中2p囊括了所有的奇素?cái)?shù)因子。由此我們知道簡單本原解方程中的各元數(shù)乘和點(diǎn)乘值域可取奇素?cái)?shù)因子全集以及偶素?cái)?shù)2來獲取通解。這一結(jié)論很重要，因?yàn)榉匠痰幕s和還原運(yùn)算都是在交換律和結(jié)合律的前提下進(jìn)行的，如果無法判斷方程左右的素因子域，通解與最簡本原解之間通過系數(shù)的解集變換就無法進(jìn)行下去。

 無最簡本原解，即無素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系2w增廣向量組（p、-q、-2w）或（p、q、-2w），也就無簡單本原解2m增廣向量組（p、-q、-2m）或（p、q、-2m）和本原解z增廣向量組（x、-y、-z）或（x、y、-z），也就無通解c增廣向量組（a、-b、-c）或（a、b、-c）?？梢娝?cái)?shù)基礎(chǔ)解系是偶數(shù)分割方程獲得全部通解的必要條件。定理“偶數(shù)通解解集確定的三元整系數(shù)方程有且僅有相應(yīng)線性映射確定的偶數(shù)最簡本原解解集”獲證。

 2.4.例外偶數(shù)2m’的簡單本原解解集是空集，其通解解集也是空集.

 有了以上概念，就可以理解以下關(guān)鍵證明了。既然例外偶數(shù)2m’是自定義選擇了怎么也沒有簡單本原解，它通過內(nèi)積逆運(yùn)算也就無法獲得唯一最簡本原解，即形如方程p+q=2w或p-q=2w的解集，就是最簡本原解，其中p、q、w皆為奇素?cái)?shù)全集,它的數(shù)乘也就自然沒有簡單本原解，即形如可表偶數(shù)定義方程p+q=2m或p-q=2m的解集,就是簡單本原解，其中三元皆含奇素?cái)?shù)因子全集。例外偶數(shù)的最簡本原解、簡單本原解以及本原解也就依次不存在。既然例外偶數(shù)的本原解不存在，那么例外偶數(shù)的通解也就不存在。而一旦有解，就會(huì)與例外偶數(shù)的定義發(fā)生矛盾。既然例外偶數(shù)2m’沒有簡單本原解，2m’≠ p-q，或者2m’≠ p+q，那么例外偶數(shù)的原分割方程也就沒任何解。因?yàn)樵匠趟薪舛际呛唵伪驹猓ㄋ財(cái)?shù)基礎(chǔ)解系）的數(shù)乘或內(nèi)積，最簡本原解是空集，它的數(shù)乘或內(nèi)積也必是空集，例外偶數(shù)的通解必是空集。

 由于以上是重要證明，不妨反復(fù)解讀，用多種理解表達(dá)下。凡不小于8的全集偶數(shù)，根據(jù)算術(shù)基本定理都有唯一表達(dá)的素因子積，而可用兩奇素?cái)?shù)之和表示的可表偶數(shù)一定是全集偶數(shù)的子集（含假子集），因此可表偶數(shù)的數(shù)乘就能獲得不小于8的全集偶數(shù)（由于乘法滿足交換律和結(jié)合律，故須確定可表偶數(shù)的素因子域才可進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)乘，否則會(huì)帶來主觀擴(kuò)域。反過來從全集偶數(shù)約掉數(shù)乘純量得到可表偶數(shù)則容易判定出純量素因子值域，因?yàn)槿紨?shù)顯然含所有素因子）。

 由于2.3已證，兩奇素?cái)?shù)相加所得到的和包含所有的素因子，故數(shù)乘的純量值域可以是所有自然數(shù)，在可表偶數(shù)所允許的素?cái)?shù)域中添加素因子就足以還原得到全集偶數(shù)，于是可表偶數(shù)的數(shù)乘與不小于8的全集偶數(shù)是同構(gòu)的。而根據(jù)例外偶數(shù)的定義，它不在可表偶數(shù)中，又須在全集偶數(shù)中，而全集偶數(shù)除了可表偶數(shù)，就是可表偶數(shù)的數(shù)乘，那例外偶數(shù)就在可表偶數(shù)的數(shù)乘中。

 由于例外偶數(shù)在可表偶數(shù)中是空集，例外偶數(shù)只能通過空集的數(shù)乘而獲得同構(gòu)映射，于是例外偶數(shù)的子集數(shù)乘無論如何都還是空集，而不小于8的所有偶數(shù)都是可以通過可表偶數(shù)的子集數(shù)乘獲得偶數(shù)全集的（不是所有的子集數(shù)乘都能得到全集偶數(shù)的）。例外偶數(shù)也須如此，例外偶數(shù)要想獲得該類型全集偶數(shù)，除了用相應(yīng)的可表偶數(shù)該類型子集進(jìn)行數(shù)乘，別無選擇，而例外偶數(shù)在可表偶數(shù)中僅為空集，空集的數(shù)乘還是空集，故可表偶數(shù)與不小于8的全集偶數(shù)同構(gòu)。

 因p+q-2m=0(p、q為所有的奇素?cái)?shù)，2m為可表偶數(shù)，m大于3）；且ap+qb-2mc=0（p、q為所有的奇素?cái)?shù)，2m為可表偶數(shù)，a、b為含所有奇素?cái)?shù)因子的奇數(shù)、c為含所有素?cái)?shù)的整數(shù)，m大于3（以上兩組的證明，見上文2.1至2.4）。故，素?cái)?shù)向量組（p，q，-2m）與系數(shù)向量組（a、b、c）是偶數(shù)分割方程的一對正交基，也就是說多項(xiàng)式函數(shù)f（p,q,2m）=p+q-2m通過向量組（a、b、c）線性映射到多項(xiàng)式函數(shù)f（p,q,2m）=ap+qb-2mc必有0點(diǎn)解。

所以，可表偶數(shù)是一定能夠通過數(shù)乘獲得不小于8的全集偶數(shù)的。而可表偶數(shù)的數(shù)乘2mc除可表偶數(shù)2m外，所剩數(shù)乘部分則為例外偶數(shù)。根據(jù)定義，由于例外偶數(shù)在可表偶數(shù)上是空集，故其數(shù)乘部分仍是空集。故可表偶數(shù)的數(shù)乘皆為可表偶數(shù)。因例外偶數(shù)也是偶數(shù)中的一種，也應(yīng)可分成兩類偶數(shù)，一類為可表偶數(shù)，一類為可表偶數(shù)的數(shù)乘。所以如果有例外偶數(shù)，則一定能在可表偶數(shù)的數(shù)乘中獲取，如果沒有則例外偶數(shù)只能為空集?？梢娎馀紨?shù)是因?yàn)闆]有簡單本原解而導(dǎo)致沒有通解的。

 偶數(shù)的簡單本原解方程表達(dá)雖沒有唯一性，但表達(dá)簡單本原解的全集方程具有唯一性。重要的話，不怕再啰嗦一句：不小于8的可表偶數(shù)都可以分割成互素的奇素?cái)?shù)之和或之差。這是偶數(shù)分割方程中的簡單本原解方程，也就是說，偶數(shù)分割方程的通解方程與偶數(shù)分割方程的簡單本原解方程，存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，偶數(shù)的通解表達(dá)式可以線性映射到偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式上。

 不難證明通解和簡單本原解之間是同構(gòu)映射關(guān)系(用算術(shù)基本定理證明或用可表偶數(shù)關(guān)聯(lián)定理證明)。

 因?yàn)榕紨?shù)的通解表達(dá)式線性映射到偶數(shù)本原解表達(dá)式上是同態(tài)的，偶數(shù)本原解表達(dá)式線性映射到可表偶數(shù)的數(shù)乘上也是同態(tài)的，可表偶數(shù)的數(shù)乘線性映射到所有2倍奇素?cái)?shù)的數(shù)乘上也是同態(tài)的，2倍奇素?cái)?shù)的數(shù)乘線性映射到偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式上也是同態(tài)的，故偶數(shù)的通解表達(dá)式線性映射到偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式上也是同態(tài)的（傳遞性法則）。

 另外，偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)線性映射到可表偶數(shù)上是同態(tài)的，可表偶數(shù)線性映射到可表偶數(shù)的數(shù)乘上是同態(tài)的（由于例外偶數(shù)是可表偶數(shù)的數(shù)乘子集，根據(jù)例外偶數(shù)的定義，它在可表偶數(shù)上是空集，故它在可表偶數(shù)的數(shù)乘上也就一定是空集），可表偶數(shù)的數(shù)乘線性映射到偶數(shù)上是同態(tài)的，偶數(shù)線性映射到偶數(shù)的通解表達(dá)式上也是同態(tài)的，故偶數(shù)的簡單本原解表達(dá)式線性映射到偶數(shù)的通解表達(dá)式上也是同態(tài)的（傳遞性法則）。

 故偶數(shù)通解和偶數(shù)簡單本原解之間是同構(gòu)關(guān)系，是一榮俱榮一損俱損的。這就意味著找不到簡單本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相應(yīng)的簡單本原解。

 如果例外偶數(shù)2m’沒有簡單本原解，2m≠p-q，或者2m≠p+q，根據(jù)定理“經(jīng)數(shù)乘和內(nèi)積變換，通解解集確定的三元整系數(shù)方程有且僅有相應(yīng)確定的簡單本原解解集”，那么例外偶數(shù)的原方程也就沒任何解。例外偶數(shù)橫豎是空集，根據(jù)定義，p+q=2m或p-q=2m為可表偶數(shù)，可得同構(gòu)等式2n =2m∪2m’=2m∪?，故2n =2m。于是可證2n=p-q或2n=p+q為左右同構(gòu)等式，其中n＞3，m＞3、p、q互素且為所有奇素?cái)?shù)。于是哥德巴赫猜想和齋藤猜想獲證。

 把以上證明的步驟換一種描述就是：

 不小于8的全集偶數(shù)皆可分割為一對互素的奇素?cái)?shù)之和（偶數(shù)分割本原解三元方程）。故不小于8的全集偶數(shù)就一定有最簡本原解三元方程。因?yàn)楸驹夥匠倘ニ兀跐M足結(jié)合律和交換律的前提下，方程右邊偶數(shù)項(xiàng)必有含所有奇素?cái)?shù)域的一個(gè)素因子，方程左邊的兩奇數(shù)項(xiàng)也必各含所有奇素?cái)?shù)域的一個(gè)素因子，所以必有素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系方程p+q=2w（p、q、w為任意奇素?cái)?shù)）。如果w不為任意奇素?cái)?shù)，2w的數(shù)乘亦無法還原得到不小于8的全集偶數(shù)，因?yàn)樵谂紨?shù)最簡本原解不小于8的基礎(chǔ)上，任意數(shù)乘都會(huì)得到多個(gè)素因子數(shù)或多個(gè)2因子數(shù)，這樣通項(xiàng)就會(huì)有無數(shù)偶數(shù)漏項(xiàng)，矛盾，故p+q=2w是全集偶數(shù)分割可得到的最簡本原解三元方程，三元一定各含所有奇素?cái)?shù)因子域，也就必有匹配的正交基增廣線性組與之線性相關(guān)，可還原得到偶數(shù)分割本原解三元方程。

 我們定義含所有奇素?cái)?shù)域的兩個(gè)不同奇素?cái)?shù)相加所得到的全部偶數(shù)為可表偶數(shù)2m，顯然2w為可表偶數(shù)的子集，于是m就含所有素?cái)?shù)因子域，包括偶素?cái)?shù)?？杀砼紨?shù)2m是2w的數(shù)乘得到的，它是例外偶數(shù)2m'關(guān)于全集偶數(shù)的補(bǔ)集。根據(jù)例外偶數(shù)2m'的定義，它是不能用兩奇素?cái)?shù)之和表達(dá)的偶數(shù)。故它不含2w，所以有關(guān)它的數(shù)乘就是空集。

 既然所有的偶數(shù)及各種類型偶數(shù)都必有最簡本原解2w,不小于8的全集偶數(shù)及各種類型偶數(shù)由最簡本原解偶數(shù)2w或2w的數(shù)乘無漏構(gòu)成，也可以說，由可表偶數(shù)2m或可表偶數(shù)2m的數(shù)乘無漏構(gòu)成。所有的偶數(shù)都必須能這樣分割和分類，類型偶數(shù)是從最簡本原解上分類的，例外偶數(shù)也概莫能外。可是例外偶數(shù)根據(jù)此規(guī)則，由于在可表偶數(shù)上是空集，在最簡本原解上也必是空集，只能是空集的數(shù)乘還是空集。因?yàn)槔馀紨?shù)是空集，所以可表偶數(shù)就等價(jià)于不小于8的全集偶數(shù)。于是互素型哥猜就獲證，補(bǔ)上特例，歐拉型哥猜也就獲證。如果用兩奇素?cái)?shù)之差定義可表偶數(shù)，一樣成立，于是齋藤猜想獲證。

 除了可表偶數(shù)的數(shù)乘封閉外，其實(shí)還可以從另一角度即可表偶數(shù)的二元加法封閉，以此來證明例外偶數(shù)是空集。

 在可表偶數(shù)加可表偶數(shù)的本原解方程a+b=c中，無窮素?cái)?shù)因子項(xiàng)進(jìn)行三元分配，根據(jù)鴿籠原理，必有一因子項(xiàng)，在持續(xù)新增素?cái)?shù)，可設(shè)置在a、b某一項(xiàng)中，根據(jù)本原解方程互素關(guān)系，c中的素?cái)?shù)因子就不可能大于a、b中的較大素?cái)?shù)因子，而方程每次a中的最大素因子皆小于b和c中的最大素因子。把較大素?cái)?shù)因子設(shè)置在c中也一樣。

 由于a、b囊括了所有的奇素?cái)?shù)因子（前文已證），我們可合理構(gòu)造b解集為持續(xù)新增素?cái)?shù)的連續(xù)素因子項(xiàng)Πpi（i=1到n），且從p1到pn的素?cái)?shù)因子都每次密集無漏到場，a解集則不需要，那么a、c的素?cái)?shù)因子就在pi（i<k）內(nèi)，a是c-Πpi所得到的數(shù)，又因?yàn)閎、c每次若互素則互域，b、c解集之間若互域則同素，三元之間從生成元上看，沒交互同域過一回，必有一方解集始終沒有同域，所以c就沒法獲得素?cái)?shù)pi（i≥1）因子。另外，c-Πpi、Πpi本原解無法互素，也就是a、b無法互素。即

Πpi（i=1到n）+p（i+1） = c（其中的素因子除2外皆大于p（i+1））；

與可表偶數(shù)互域的c中例外偶數(shù)根據(jù)定義可知非本原解，也非最簡本原解，故構(gòu)造它的素因子必與左邊的素因子值首先互域，而最簡本原解方程每次互域時(shí)都不會(huì)產(chǎn)生公共素因子，故累計(jì)與密集遞增的素因子項(xiàng)也不會(huì)有公共素因子，滿足傳遞性無限互素。

 c中例外偶數(shù)的本原解若真存在的話，減去Πpi是一定有互素的差值解的，但一次互素解都沒有。c中例外偶數(shù)的素因子要么總被b中的連續(xù)素因子所囊括，這與本原解方程性質(zhì)矛盾，要么與可表偶數(shù)中的所有素因子完全重合，沒有例外性，故解集a、b與解集c若互域則同素是假命題。把新增素?cái)?shù)設(shè)置在c中也一樣，同理可證明，c-Πpi 、Πpi 無法互素，也就是a、b無法互素。a中的素因子在b中的連續(xù)素因子中，且a、b不能獲得所有的奇素?cái)?shù)。這與條件要求矛盾，故左右互域時(shí)，c為素?cái)?shù)因子空集。

 故方程若左右互域則左右互素是真命題。這就導(dǎo)致了例外偶數(shù)是空集，哥猜得證。

例外偶數(shù)是可表偶數(shù)的補(bǔ)集，通常理解為彼此獨(dú)立，其反直覺的是，它還必須是可表偶數(shù)的數(shù)乘，它還必須滿足可表偶數(shù)的二元加法運(yùn)算，正是因?yàn)樵谶@一點(diǎn)上有主和次的緊密牽扯，不等量分割才給萬物之間留下了秩序關(guān)聯(lián)。

 另外，筆者還通過其它角度對哥德巴赫猜想完成了更精準(zhǔn)的證明。

“三元方程互異解集基底互素”命題：在三元方程中存在同構(gòu)型、同態(tài)型、互素型三類解集關(guān)系。

“同構(gòu)型”三元方程解集基底互素定理（1）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集與b解集互異但素因子同構(gòu)（非素因子全集），那么第二對a與c和第三對b與c解集互異必基底互素。

“同態(tài)型”三元方程解集基底互素定理（2）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集與b解集素因子同態(tài)，且第二對a與c解集同態(tài)，則第三對b與c解集互異必基底互素。

“互素型”三元方程解集基底互素定理（3）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a與b解集彼此有不共素因子，且b與a解集彼此有不共素因子，那么第三對b與c解集互異必基底互素或因子同構(gòu)。

通過以上分析，可嚴(yán)格地得到哥猜證明。根據(jù)三元方程解集性質(zhì)，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假設(shè)是不真的。故c中增添新素因子是每個(gè)a和b的基底素因子補(bǔ)元不斷篩查所剩的交集。根據(jù)定義，2m與c是互異集，方程兩邊約掉2，{m}∩{c/2}=?）。在此前提下，就會(huì)導(dǎo)出偶數(shù)分割方程的一個(gè)重要性質(zhì)。2m+2=c，2m為可表偶數(shù)，見后文定義并證明可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素因子。這里預(yù)告下證明思路，再完成一個(gè)可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素因子的引理證明，哥猜即獲證（詳細(xì)證明見學(xué)術(shù)論文）。

 3.哥德巴赫猜想的延伸意義

 數(shù)學(xué)的魅力在于它能給人帶來思想的自由。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由，這是康托爾說的話。假如一個(gè)問題的解決不能帶來一系列同類問題的解決，我們就不會(huì)為一個(gè)孤證而搜腸刮肚；假如一個(gè)問題的解決絲毫不能引起人類的審美愉悅，我們就不會(huì)繼續(xù)探索；假如這個(gè)問題對我們探索未知世界毫無幫助，我們就會(huì)認(rèn)為它沒有價(jià)值；假如這件事情不能喚醒良知和志向以及希望，就無法驗(yàn)證。假如這件事情不能給個(gè)人幸福追求帶來能量，就不值得依靠。數(shù)學(xué)的無用，只因它超級有用，如果是真的無用，早已棄之如敝履。

 如果一個(gè)猜想僅僅是個(gè)會(huì)下金蛋的母雞，專刺激數(shù)學(xué)新工具的產(chǎn)生，本身命題沒有多大意義，那么這個(gè)猜想也不會(huì)有多大的挑戰(zhàn)性。好的數(shù)學(xué)猜想，一定是一個(gè)通往新領(lǐng)域的橋梁，只有把猜想變成了定理了，才能暢通無阻地進(jìn)入新領(lǐng)域開拓。哥猜問題的解決可以多米諾骨牌式地解決一大堆丟潘圖數(shù)論問題。

 哥猜獲證絕非孤證，尤其是互素型哥猜，它可證明系列數(shù)論猜想.因?yàn)榕紨?shù)的相鄰差值為2，故可得到齋藤猜想的推論：(p1-p3)-(p4-p2)=2有匹配的無窮組。我們還可以證明存在無窮組素?cái)?shù)其間隔差為定值2w，用反證法來證明。如果間隔差可列的每類素?cái)?shù)對都是有限組的，那么差值2,差值4，差值6，……差值2k的素?cái)?shù)對將在某個(gè)定值后不再出現(xiàn)，這就意味著充分大后繼素?cái)?shù)將分布在無窮大之外，也就是說超大素?cái)?shù)是不存在的，這同歐幾里德已證明素?cái)?shù)有無窮個(gè)相矛盾。故“間隔差可列的每類素?cái)?shù)對都是有限組的”這個(gè)命題是不真的，因此必有差值為某一定值的素?cái)?shù)對是擁有無限組的，這個(gè)定值可取2w。

 根據(jù)2n=p-q的推論，必有(p1-p3)-(p4-p2)=2（從相鄰偶數(shù)關(guān)系推理而來），現(xiàn)已知(p1-p3)=2w擁有無窮組，那么與之匹配的間隔差值的差值等于2的素?cái)?shù)對(p4-p2)就一定也擁有無窮組，否則就不能產(chǎn)生無窮無漏的后繼偶數(shù)。由此可得(p4-p2)=2w-2也必有無窮組，將這個(gè)運(yùn)算迭代運(yùn)行下去，必將得到(p4-p2)=2有無窮組。于是孿生素?cái)?shù)猜想獲證。以上也同時(shí)證明了2n中所有定值2w作為素?cái)?shù)間隔的素?cái)?shù)對都各有無窮組，而這正是波利尼亞克猜想。

 即根據(jù)齋藤猜想獲證，孿生素?cái)?shù)猜想和波利尼亞克猜想皆相應(yīng)成立。當(dāng)然它還可以證明更多的數(shù)論猜想，作者將另文闡述。比如隨著哥德巴赫猜想、齋藤猜想，孿生素?cái)?shù)猜想、波利尼亞克猜想的破解，abc猜想會(huì)迎刃而解，黎曼假設(shè)也就找到了可以解結(jié)的線頭。而黎曼假設(shè)則有上千個(gè)推論等著黎曼假設(shè)成立而成立，否則會(huì)全部垮塌。可見哥猜成立的意義有多么重要。

 還記得核函數(shù)核空間嗎？對，就是那個(gè)支持向量機(jī)，它可是人工智能里最重要的底層數(shù)學(xué)思想，多項(xiàng)式的線性變換，都可以找到單值量的數(shù)乘來對應(yīng)表示，核函數(shù)還沒有將數(shù)學(xué)的底層思想講透，而深入到素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系中的哥猜，可以進(jìn)一步將核函數(shù)的秘密挖掘得更深，將為人工智能探索到更深刻的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文證明的關(guān)鍵是，在偶數(shù)不等量分割方程中，三元方程的通解和簡單本原解之間存在著同構(gòu)映射關(guān)聯(lián)。而例外偶數(shù)根據(jù)定義，不存在簡單本原解，故例外偶數(shù)方程的通解解集為空集。因?yàn)榉才紨?shù)皆能不等量二元分割，而最后定有以素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系為解集的簡單本原解，簡單本原解為空集，則通解就為空集，例外偶數(shù)為空集的秘密原來在此。

 哥德巴赫猜想發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趨于簡潔的優(yōu)美世界，是通往最優(yōu)化選擇的橋梁，人們持久地愛好它，是因?yàn)槿绻麤]有這種簡單，人們就會(huì)喪失對更深刻問題的信念——因?yàn)閺?fù)雜是來自對簡單的有序理解。假如哥德巴赫猜想是錯(cuò)誤的，它將限制我們的觀察能力。使我們難以跨越一些問題并無法欣賞。一個(gè)問題把它無序的一面強(qiáng)加給我們的內(nèi)心生活，就會(huì)使我們的感受趨向丑陋，引起自卑和傷感。如果復(fù)雜世界不能連接簡單，人類的孤獨(dú)就會(huì)變成絕望。

 素?cái)?shù)具有一種神秘的氣質(zhì)，素?cái)?shù)給人們一種永不妥協(xié)的自我超越色彩，有一種神圣不可侵犯的孤獨(dú)和高貴。當(dāng)哥德巴赫猜想變成定理，我們可以看到上帝的大智大慧，上天的巧妙安排，乘法是加法的重疊，而哥德巴赫猜想?yún)s用加法將乘性概括。在這隱晦的命題之中有著深?yuàn)W的知識(shí)。它改變了人們對數(shù)的看法：原來加法也可以篩選素?cái)?shù)，它找到了大數(shù)分解和大數(shù)分割殊途同歸的路徑，乘法的輪郭憑直觀就可以從加法那里一目了然。哥德巴赫猜想體現(xiàn)了一種探索機(jī)能，加法和乘法都是數(shù)量的堆積，但乘法是對加法的平等性延伸，加法對乘性的控制卻體現(xiàn)了兩種不同的要求，那是一種次地性延伸。前者通過感受空間可以理解，后者則要求領(lǐng)悟時(shí)間而獲得靈感。它似乎同人性和哲學(xué)以及宗教更近些。

 激動(dòng)人心的東西總是出人意料的，它即是直覺的，又是反直覺的。常識(shí)以為偶數(shù)的范圍更廣，兩奇素?cái)?shù)相加的范圍窄，事實(shí)上，兩奇素?cái)?shù)相加所能獲得的數(shù)的區(qū)分性遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是偶數(shù)所能比擬的。哥猜的世界能讓我們一次又一次地吃驚。

 據(jù)數(shù)感反應(yīng)特別敏銳的人描述，素?cái)?shù)在直覺冥想中光感強(qiáng)烈，被稱之為是君子數(shù)，是整數(shù)中的貴族。有一種質(zhì)數(shù)禪，就以17年這一質(zhì)數(shù)周期來選擇繁殖年，據(jù)說這樣可以躲過天敵。素?cái)?shù)充滿了玄妙，它能把復(fù)雜的事物說得簡單明了，也能把簡單明了的事物變得復(fù)雜。前者靠直覺和洞察，后者靠聯(lián)想和推理。素?cái)?shù)是性感的，是嫵媚的女王，素?cái)?shù)是剛強(qiáng)的，是振臂一呼的將軍。對哥德巴赫猜想的探究是因?yàn)樗苯由婕暗剿財(cái)?shù)的性質(zhì)，對素?cái)?shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是因?yàn)檫@個(gè)意義深遠(yuǎn)，尤其是互素性的哥德巴赫猜想，遠(yuǎn)比歐拉型的哥德巴赫猜想深刻的多，素?cái)?shù)的2倍都可以用素?cái)?shù)自己加自己獲得，模糊了通過偶數(shù)挖掘素?cái)?shù)的線索，而互素型哥猜，顯然難度加大，然而它的用處極大，它為尋找后繼素?cái)?shù)提供了可能。就目前來說，基本能將新增素?cái)?shù)控制在三級后繼素?cái)?shù)的范圍里，素?cái)?shù)構(gòu)造方程對尋找新增素?cái)?shù)將會(huì)越來越有效。素?cái)?shù)是涉及它物的（其他命題的），超越自身的，向外傳遞的，有超越自我的意義，是一種持續(xù)不斷的命題產(chǎn)生的源泉。由此推出哥德巴赫猜想的更深遠(yuǎn)意義。以往的數(shù)學(xué)家，研究一個(gè)數(shù)學(xué)對象，喜歡先研究有關(guān)它的普遍公式，然后才能確定該對象的數(shù)學(xué)位置。

 而完成哥猜的證明，是一個(gè)分水嶺，因?yàn)樗財(cái)?shù)這個(gè)具有生命靈性的對象，同以往的所有的數(shù)學(xué)對象都不同，它不可能用有限的多項(xiàng)式完成一勞永逸的表達(dá)，于是它就不可能有相應(yīng)的普遍通項(xiàng)公式；但不能因?yàn)榇?，人類就不能用思想捕捉到它的本質(zhì)。素?cái)?shù)構(gòu)造方程仍然是存在的，它是一個(gè)可持續(xù)的迭代遞歸函數(shù)，通過它我們可以捕捉到后繼素?cái)?shù)。用普遍通項(xiàng)公式抓住事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)時(shí)代已經(jīng)過去了，用持續(xù)迭代遞歸公式抓住事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)時(shí)代來臨。普世性讓位傳世性的哲學(xué)思想將開始沖撞我們的認(rèn)知。最后感慨之余賦詩一首：“數(shù)星數(shù)月數(shù)盡沙，思古思今思念它。哥猜確已被破解，不信可去問歐拉”。

                                                                                  2017.1.18 于深圳原稿

                                                                                  2023.6.12 于深圳修改