一部部科學經(jīng)典著作，猶如人類文明史上璀璨的里程碑，奠定了現(xiàn)代科學基石，鋪就了人類進步的階梯。今天，讓我們一起走近《希爾伯特幾何基礎》，了解這部著作如何以嚴謹?shù)墓眢w系為現(xiàn)代幾何奠基，以及希爾伯特的數(shù)學思想如何持續(xù)滋養(yǎng)著后世的探索。

1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學家大會上，德國數(shù)學家希爾伯特作了一次數(shù)學史上影響深遠的演講，題目是“數(shù)學問題”。

在演講中，希爾伯特列舉了23個他認為具有重要意義的數(shù)學問題，這些問題被后人稱為“希爾伯特問題”。解決希爾伯特問題成了許多數(shù)學家終生奮斗的目標，在解決這些問題的過程中，源源不斷地產(chǎn)生出的“金蛋”為20世紀的數(shù)學發(fā)展注入了極大的生機。

希爾伯特 圖片來源：“科學元典”公眾號

什么是希爾伯特第十問題

希爾伯特第十問題是一個與解方程有關的問題。在中學時我們就解過許多簡單的方程，比如2x－2y＝1，x2＋y2＝z2。這兩個簡單方程有一個共同特點，只包含未知數(shù)的整數(shù)次冪，系數(shù)也都是整數(shù)，這類方程被稱為整系數(shù)代數(shù)多項式方程。數(shù)學家們對這類方程的研究有著漫長的歷史。

公元3世紀，希臘數(shù)學家丟番圖（Diophantus）發(fā)表了一部長篇巨著《算術》。這部13卷的著作，經(jīng)過1700多年的漫長歲月，流傳至今的只有6卷。丟番圖在這部著作中對整系數(shù)代數(shù)多項式方程進行的大量研究，對代數(shù)與數(shù)論的發(fā)展有著先驅(qū)性的貢獻。后人為紀念他，把整系數(shù)代數(shù)多項式方程稱為丟番圖方程（Diophantus Equation）。

對于丟番圖方程，數(shù)學家們最感興趣的是它是否有整數(shù)解（或自然數(shù)解）。對于簡單的方程這是很容易找到答案的，比如x2＋y2＝z2有整數(shù)解（早在3000多年前，我國古代的數(shù)學家就知道這個方程的一組解：即勾三股四弦五）；2x－2y＝1則沒有整數(shù)解（因為方程的左邊為偶數(shù)，右邊卻為奇數(shù)）。但對于一般的丟番圖方程來說，判斷它是否有整數(shù)解卻是件極困難的事，其中最例子就是費馬猜想，即xn＋yn＝zn在n＞2時沒有非零整數(shù)解，直到300多年后才得到證明。

長期以來，人們對丟番圖方程是否有整數(shù)解的研究都是針對特定形式的丟番圖方程進行的。有沒有辦法對一般的丟番圖方程是否有整數(shù)解進行研究呢？或者，是否可以找到一種普遍的算法，用來判定一個任意的丟番圖方程是否有整數(shù)解，從而一勞永逸地解決這類問題呢？這便是希爾伯特第十問題。這樣的問題在數(shù)學上被稱為判定問題（Decision Problem），因為它尋求的是對數(shù)學命題進行判定的算法。

希爾伯特是一位對數(shù)學充滿樂觀信念的數(shù)學家。他提出這一問題時，沒有用“是否存在這樣的算法”作為問題的表述，而是直接要求數(shù)學家們尋找這樣的算法，可見他對存在一個肯定的答案懷有期待。這種期待與他在其他方面對數(shù)學的樂觀看法一脈相承。

不可判定命題的啟示

希爾伯特第十問題要求尋找判定丟番圖方程是否有解的算法。究竟是什么算法呢？當時沒有明確的定義。這一困難使希爾伯特第十問題在提出后整整30年沒有取得任何實質(zhì)性進展。

直到20世紀30年代，對算法的研究才逐漸深入。

數(shù)學上，算法（通過有限多的步驟）是對數(shù)學函數(shù)進行有效計算的方法。因此算法研究的一個重要的切入點，是尋找可以有效計算的函數(shù)。到底什么樣的函數(shù)是可以有效計算的呢？數(shù)學家們開始并沒有普遍的結論，只知道一些最簡單的函數(shù)，以及用這些函數(shù)通過若干簡單規(guī)則組合出的函數(shù)是可以有效計算的。數(shù)學家們把這類函數(shù)叫作遞歸函數(shù)（Recursive Function）。

1931年，年輕的法國數(shù)學家赫爾布蘭德（Jacques Herbrand，）對遞歸函數(shù)進行了研究，并給邏輯學家哥德爾（Kurt Gdel）寫信敘述了自己的研究結果。哥德爾當時正處于自己一生中最重大的成果——哥德爾不完全性定理的研究時期，沒有立即對赫爾布蘭德的工作做出回應。那一年的夏天，年僅23歲的赫爾布蘭德在攀登阿爾卑斯山時不幸遇難，他的工作因此被暫時埋沒了。

與赫爾布蘭德的研究差不多同時，20世紀30年代初，普林斯頓大學的美國邏輯學家丘奇（Alonzo Church）也在積極從事邏輯及算法的研究，并且發(fā)展出了一種新的邏輯體系。他讓自己的兩個學生克林（Stephen Kleene）與羅瑟（John Rosser）對這一體系做細致的研究。他們的研究很快就有了結果，但這結果大大出乎丘奇的意料。他們發(fā)現(xiàn)丘奇的那套體系竟然是自相矛盾的。命運似乎只有一個：放棄。幸運的是，丘奇的那套體系中有一個組成部分是自洽的，因此可以保留下來，這部分叫作蘭姆達運算（λ－calculus）。

這種蘭姆達運算可以用來定義函數(shù)，而所有用蘭姆達運算定義的函數(shù)都是可以有效計算的。在對蘭姆達運算做了研究之后，丘奇提出了一個大膽的猜測，他猜測所有可以有效計算的函數(shù)都可以用蘭姆達運算來定義。

1934年，丘奇向到普林斯頓大學訪問的哥德爾介紹了這一猜測，哥德爾卻不以為然。丘奇不服氣，請哥德爾給出一個他認為合適的描述。一兩個月后，哥德爾就給出了一種完全不同的描述，這種描述的基礎正是三年前赫爾布蘭德在給他的信中敘述的結果。哥德爾對這一結果進行了完善，這一結果被人們稱為赫爾布蘭德－哥德爾遞歸函數(shù)。

這樣，丘奇與哥德爾各自給出了一種體系，描述可以有效計算的函數(shù)。丘奇與克林很快證明，這兩種看上去完全不同的描述方式實際上是彼此等價的。兩位邏輯學家的工作殊途同歸，大大增強了丘奇的信心。他相信人們已經(jīng)找到了可以有效計算的函數(shù)的普遍定義。但哥德爾及其他一些人對此卻仍然懷有疑慮。最終打消這種疑慮的是英國數(shù)學家圖靈（Alan Turing）。

圖靈當時對丘奇及哥德爾在這方面的研究并不知情。他所研究的課題是什么樣的運算可以用機器來實現(xiàn)。他的這一研究對后來計算機科學的發(fā)展具有深遠的影響。在圖靈的研究接近完成的時候，他的導師注意到了丘奇與哥德爾的工作。于是圖靈對彼此的工作進行了比較，發(fā)現(xiàn)丘奇與哥德爾所定義的那些函數(shù)與他的抽象計算機可以計算的函數(shù)恰好吻合！圖靈把這一結果作為附錄加進了自己的論文。這下就連哥德爾也心悅誠服了，畢竟，有什么能比在計算機上計算更接近“可以有效計算”以及算法的基本含義呢？

在這些有關算法的研究中，數(shù)學家們還提出了一個重要的概念：遞歸可枚舉集（Recursively Enumerable Set），即由可以有效計算的函數(shù)所生成的自然數(shù)的集合。對于一個集合來說，一個很基本的問題就是判斷一個元素是否屬于該集合。遞歸可枚舉集也不例外。當數(shù)學家們研究遞歸可枚舉集的時候，發(fā)現(xiàn)了一個十分微妙的結果：對于某些遞歸可枚舉集來說，我們無法判定一個自然數(shù)是否屬于該集合。換句話說，有一些遞歸可枚舉集是不可判定的。這一結果把對算法的研究與判定問題聯(lián)系了起來，為后來解決希爾伯特第十問題埋下了重要的伏筆。

這一系列結果出現(xiàn)在1936-1937年間。那時候，在數(shù)學中存在無法判定的命題已經(jīng)不是一件新鮮事了。早在五年前，哥德爾就已經(jīng)證明了他的不完全性定理，即任何足夠復雜并且自洽的數(shù)學體系都必定包含不可判定的命題。當時已知的不可判定命題大都集中在邏輯領域內(nèi)。在數(shù)學的其他領域中，究竟哪些命題是不可判定的呢？這個問題在整整10年之后才開始有答案。

1947年，美國數(shù)學家波斯特（Emil Post）找到了第一個邏輯領域以外的不可判定命題。波斯特是一位有著深刻洞察力的邏輯學家，7歲時隨父母從波蘭移民到美國，是美國邏輯學的先驅(qū)之一。他早在近十年前就得到了與哥德爾不完全性定理相似的結果，由于想對結果作更全面的分析而沒有及時發(fā)表。1936年，幾乎與哥德爾、丘奇及圖靈同時，波斯特獨立提出了類似于圖靈的結果，他也是最早意識到希爾伯特第十問題可能會有否定答案的數(shù)學家之一。1944年，他在一篇文章中明確提出希爾伯特第十問題“期待一個不可解性證明”。當時波斯特在紐約市立大學任教，他的這一觀點深深打動了一位學生，使后者走上了畢生鉆研希爾伯特第十問題的征途。這位學生名叫戴維斯（Martin Davis），是解決希爾伯特第十問題的關鍵人物。

戴維斯的努力

戴維斯的父母從波蘭移民美國，戴維斯本人則出生在紐約。1944-1948年間，戴維斯在紐約市立大學學習，波斯特對希爾伯特第十問題期待一個否定答案的看法，用戴維斯本人的話說是開始了他“對這一問題的終身迷戀”。從紐約市立大學畢業(yè)后，戴維斯來到了美國邏輯學的中心普林斯頓大學，跟隨丘奇從事進一步的研究。

戴維斯在普林斯頓大學研究的是一個冷門的課題，對于研究生來說，研究這樣的課題最容易出成果。但戴維斯無法抵御希爾伯特第十問題的魅力，在研究自己課題的同時，分出精力繼續(xù)思考希爾伯特第十問題。

他甚至在博士論文上特意增添了一個章節(jié)，敘述了自己在希爾伯特第十問題上“不務正業(yè)”的結果，那是在1950年。這一增添的章節(jié)使戴維斯的那篇原本會像多數(shù)研究生一樣被人遺忘的博士論文名垂史冊。三年后，戴維斯發(fā)表了一篇更詳細的論述。他的這一工作標志著數(shù)學家們正式開始解決希爾伯特第十問題。

戴維斯在他的研究中引進及運用了一個重要的概念——丟番圖集（Diophantus Set）。和上面提到的遞歸可枚舉集一樣，丟番圖集也是一些由自然數(shù)組成的集合。不同的是，遞歸可枚舉集是由可以有效計算的函數(shù)生成的，丟番圖集則是通過丟番圖方程生成的。戴維斯的重要發(fā)現(xiàn)就在于找到了這兩類集合之間的一種關聯(lián)。

這兩類集合之間的關聯(lián)之所以重要，是因為倘若希爾伯特第十問題具有肯定的答案，即存在一個算法來判定丟番圖方程是否有解，那么我們就可以用這一算法來確定一個自然數(shù)是否屬于某個丟番圖集，這表明所有丟番圖集都是可判定的。反之，倘若我們可以證明某些丟番圖集是不可判定的，也就證明了希爾伯特第十問題具有否定的答案，而這正是戴維斯想要做的。

證明某些丟番圖集是不可判定的，最好的辦法就是設法把它與某一類已經(jīng)知道是不可判定的集合聯(lián)系在一起，遞歸可枚舉集就正是這樣的一個角色。如果有人可以證明所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，也就等于證明了某些丟番圖集是不可判定的，從而也就完成了對希爾伯特第十問題的否定解決。

不幸的是，在戴維斯找到的關聯(lián)中用到了一個被稱為有界全稱量詞（Bounded Universal Quantifier）的邏輯算符。如果沒有這個有界全稱量詞，他就可以證明所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，大功也就告成了?？墒菙?shù)學證明是差不得分毫的，因為有了這個有界全稱量詞，戴維斯的邏輯鏈條中斷了。盡管如此，戴維斯仍然相信所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，他把這一點作為一個猜測提了出來。在當時，這是一個很大膽的猜測。

要證明戴維斯的猜測，關鍵得把那個有界全稱量詞去掉，這是件非常困難的事。直到9年以后的1959年，戴維斯才在與哲學家普特南（Hilary Putnam）的合作中有條件地做到了這一點。做到這一點所付出的代價是不得不引進兩條額外的假設。

初看起來，這像是不進反退，原本只有一個麻煩，現(xiàn)在反而變成了兩個。但數(shù)學假設的證明難度不是用數(shù)量來衡量的，戴維斯與普特南所引進的那兩條額外假設比那個有界全稱量詞來得具體，因而處理起來要容易一些。

在發(fā)表這一研究的全文之前，戴維斯與普特南決定聽一聽研究希爾伯特第十問題的另一位重要人物羅賓遜夫人（Julia Robinson）的看法，他們把結果寄給了羅賓遜夫人。這一寄揭開了一段新的合作，把他們的結果又大大向前推進了一步。

羅賓遜猜想——距解決只剩一步之遙

羅賓遜夫人是數(shù)學界少有的女數(shù)學家之一。與其他女數(shù)學家一樣，她一生在追求學術的過程中遇到過許多坎坷。這些坎坷既有來自社會的，也有生活上的不幸。羅賓遜夫人幼年時屢患疾病，導致身體虛弱，無法生育，這一點曾使酷愛家庭的她陷入極度的痛苦之中。后來，在她同為數(shù)學家的丈夫的引導下，數(shù)學的力量讓她漸漸擺脫了痛苦的陰影。

羅賓遜夫人的丈夫早年曾是她的數(shù)論教授，幫助她打下了非常扎實的數(shù)論基礎。羅賓遜夫人自1948年起開始研究希爾伯特第十問題，并曾經(jīng)與戴維斯有過交流。當她收到戴維斯與普特南寄來的結果時，憑借自己的數(shù)論功底很快發(fā)現(xiàn)，他們所作的兩個假設中有一個可以去掉，同時整個證明也可以有極大的簡化。1961年，戴維斯、普特南及羅賓遜夫人合作發(fā)表了這一簡化后的結果。這一結果是戴維斯、普特南的邏輯技巧與羅賓遜夫人的數(shù)論功底的完美結合，也是希爾伯特第十問題研究中的又一個重要的進展。

但是在戴維斯與普特南所作的兩個假設中，仍有一個連羅賓遜夫人也無法去除。那便是在他們的結果中用到了一種被稱為“指數(shù)丟番圖集”的集合，這種集合類似于丟番圖集，但涉及指數(shù)函數(shù)。倘若有人可以證明“指數(shù)丟番圖集”實際上就是丟番圖集，那么戴維斯、普特南及羅賓遜夫人的工作就完全了，希爾伯特第十問題也就被證明具有否定的答案了。但“指數(shù)丟番圖集”究竟是不是丟番圖集卻困住了這三個人。

對羅賓遜夫人而言，“指數(shù)丟番圖集”其實并不陌生。早在1948年，她剛剛涉足希爾伯特第十問題的時候，就研究過由邏輯學家塔爾斯基（Alfred Tarski）提出的一個猜測。這一猜測認為“指數(shù)丟番圖集”不是丟番圖集。經(jīng)過一段時間的研究后，羅賓遜夫人開始懷疑塔爾斯基的猜測，因為她找不到任何證據(jù)可以支持這一猜測，于是轉(zhuǎn)而猜測與塔爾斯基猜測相反的命題，即“指數(shù)丟番圖集”實際上就是丟番圖集，這個命題被稱為羅賓遜猜想。這也正是戴維斯、普特南及羅賓遜夫人1961年的工作中唯一缺失的環(huán)節(jié)。他們距離希爾伯特第十問題的解決只剩下一步之遙，但這一步卻難如登天。

在羅賓遜夫人沉醉于希爾伯特第十問題的那些年里，幼年患病所留下的后遺癥一再困擾著她。當年的一位醫(yī)生甚至預言她的心臟機能受損嚴重，也許活不過40歲。這一預測雖然很幸運地由于后來的一次成功的心臟手術而沒有成為事實，但每一年的生日，羅賓遜夫人都要在吹熄蠟燭的時候許愿，希望能夠看到希爾伯特第十問題的解決。無論誰來解決都可以，但一定要在她有生之年解決?！拔覠o法忍受在不知道答案的情況下離開人世。”這是羅賓遜夫人的話。

時光一年年流逝，羅賓遜夫人的愿望一次次落空。那手握最后一把鑰匙的人究竟在哪里呢？

那個時候，戴維斯也常常被人問到這一問題。當時正是冷戰(zhàn)時期，對美國人來說世界上最遙遠的地方莫過于蘇聯(lián)。戴維斯調(diào)侃地回答：“那會是一位聰明的蘇聯(lián)年輕人?！彼f對了！一個名叫馬蒂亞塞維奇（Yuri Matiyasevich）的蘇聯(lián)年輕人將從世界的另一端走上數(shù)學舞臺。

馬蒂亞塞維奇

——為智慧鏈條扣上最后一環(huán)的人

馬蒂亞塞維奇，1947年出生在俄羅斯圣彼得堡（當時稱列寧格勒），12歲時父親去世。憑借優(yōu)異的成績，家境貧寒的馬蒂亞塞維奇在數(shù)學競賽中脫穎而出，獲得了各種教育機會。1965年，在他念本科的時候，他的導師馬斯洛夫（S. Yu. Maslov）建議他證明丟番圖方程的不可判定性。

馬斯洛夫輕描淡寫地說：“這個問題也被稱為希爾伯特第十問題，但你不必理會這個?！瘪R蒂亞塞維奇表示他對研究這類不可解問題沒有經(jīng)驗，馬斯洛夫補充道：不可解問題沒什么大不了的，無非就是把它約化成一個已知是不可解的其他問題。他還告訴馬蒂亞塞維奇，有幾個美國人曾做過一些研究，但不必理會那些研究，因為它們“很可能是不充足的”。

馬蒂亞塞維奇的研究開始并不順利，他曾一度以為自己已經(jīng)解決了問題，甚至開始準備作報告了，結果卻發(fā)現(xiàn)自己犯了一個錯誤。一段時間的徒勞無功之后，他開始閱讀“幾個美國人”的“很可能是不充足的”研究成果，但依然沒有獲得實質(zhì)性進展。隨著畢業(yè)時間的臨近，他只好把這個問題放在了一邊。

1969年，頑強的羅賓遜夫人又向希爾伯特第十問題做了一次沖擊。雖然這一次仍然沒有成功，但她為證明羅賓遜猜想提出了一條非常巧妙的思路。羅賓遜夫人的結果發(fā)表后，很快有同事把這一消息告訴了馬蒂亞塞維奇。這時的馬蒂亞塞維奇已決定不再把時間浪費在希爾伯特第十問題上了，于是沒有理會。事情接下來的發(fā)展極富戲劇性，用馬蒂亞塞維奇自己的話說：“在數(shù)學天堂的某個角落里，必定存在著一位數(shù)學之神，不想讓我錯過羅賓遜夫人的新論文?！庇捎谒饲皩ο柌氐谑畣栴}的研究，蘇聯(lián)的一份數(shù)學評論雜志把羅賓遜夫人的論文寄給了他，讓他加以評論。這一看，馬蒂亞塞維奇立即被羅賓遜夫人的思路吸引住了，他重新投入到希爾伯特第十問題的研究上來。

接下來的幾個月，馬蒂亞塞維奇一直在思索羅賓遜猜想。1969年的除夕派對上，馬蒂亞塞維奇由于過分專注，走的時候竟然錯穿了他叔叔的衣服。全神貫注的投入終于讓他獲得了巨大的成功。1970年新年過后第四天，馬蒂亞塞維奇成功地證明了羅賓遜猜想，從而一舉解決了希爾伯特第十問題。有了幾年前誤以為解決希爾伯特第十問題的教訓，這次他把文章交給了馬斯洛夫及另一位數(shù)學家栗弗席茨（Vladimir Lifshits），請他們檢驗，自己攜未婚妻出外滑雪度假。兩個星期后當他回到學校，一切都變了。他的論文經(jīng)受住了以眼光犀利著稱的數(shù)學家法蒂夫（D. K. Faddeev）與馬爾科夫（A. A. Markov）的檢驗，他成為希爾伯特第十問題的解決者。

1月29日，馬蒂亞塞維奇作了有關他研究成果的第一次公開演講。那次演講中的一位聽眾把這一成果帶到了不久之后在西伯利亞諾沃斯比爾斯克（Novosibirsk）舉行的一次數(shù)學會議上，會議的出席者中恰好有一位羅賓遜夫人的同事。就這樣，馬蒂亞塞維奇解決希爾伯特第十問題的消息很快傳遍了數(shù)學界。當時馬蒂亞塞維奇還不滿23歲，正是一位“聰明的蘇聯(lián)年輕人”。

2月15日，羅賓遜夫人接到同事的電話，告知她這一消息。那一年的生日，當羅賓遜夫人將吹熄生日蠟燭時，她停了下來，忽然意識到自己許了這么多年的愿望已經(jīng)成為了現(xiàn)實，那是一種美妙的感覺。雖然她曾經(jīng)那么接近答案，卻還是失之交臂，但她沒有覺得遺憾。對羅賓遜夫人來說，對數(shù)學真理的欣賞遠遠超越了任何個人的榮譽。

她在給馬蒂亞塞維奇的祝賀信中這樣寫道：“讓我特別高興的是，當我想到我最初提出那個猜想的時候，你還是個孩子，而我不得不等待你的長大?！?/p>

戴維斯也非常興奮，他在自己的經(jīng)典著作《可計算性與不可解性》的平裝本序言中寫道：“我一生最大的快樂之一是1970年2月讀到馬蒂亞塞維奇的工作?！蹦贻p的馬蒂亞塞維奇同樣對戴維斯、羅賓遜夫人以及在解決希爾伯特第十問題的漫長征途中作出貢獻的所有前輩數(shù)學家表達了深深的敬意。

在二十世紀六七十年代那個寒冷的冬天里，這些第一流的數(shù)學家們以他們的探索精神劃開了冰層，讓世人看到了科學的偉大人文力量。按照羅賓遜夫人的說法，這是一種存在于科學家心中的觀念，它跨越地理、種族、性別、年齡甚至時代而存在，過去、現(xiàn)在及未來的所有數(shù)學家們彼此都是同事，他們獻身于一個共同的目標，那便是最美麗的科學與藝術。

科學經(jīng)典推薦

《希爾伯特幾何基礎 》

【德】希爾伯特 著

江澤涵、朱鼎勛 譯

本書中的研究，是重新嘗試著來替幾何建立一個完備的，而又盡可能簡單的公理系統(tǒng)；要根據(jù)這個系統(tǒng)推證最重要的幾何定理，同時還要使我們的推證能明顯地表出各類公理的含義和個別公理的推論的含義。

來源：“科學元典”公眾號