一部部科學經(jīng)典著作，猶如人類文明史上璀璨的里程碑，奠定了現(xiàn)代科學基石，鋪就了人類進步的階梯。今天，讓我們一起走近《數(shù)學家彼得·拉克斯》，了解這位阿貝爾獎得主數(shù)學智慧照亮科學前沿的傳奇人生。

歐洲近代史中，在匈牙利這個約有一千萬人口的小國，在19世紀末至20世紀初的五十年間，誕生了一批杰出人士。他們當中有空氣動力學家馮·卡門 （Theodorevon Kármán，1881-1963）、數(shù)學家波利亞（George Pólya，1887-1985）、物理學家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）、化學家德·赫維西（George de Hevesy，1885-1966）及經(jīng)濟學家哈薩尼（John Charles Harsanyi，1920-2000）。這些智者常常被稱為“火星人（The Martians）”，該術語首創(chuàng)于西拉德的一句玩笑，說的是20世紀上半葉從歐洲移民到美國的那些卓越的匈牙利科學家。

匈牙利物理學家兼科學史家馬克思 (Gy?rgy Marx，1927-2002)，在其專寫匈牙利科學家的書《火星人的聲音》（The Voice of the Martians）中，直接將“火星人”放進了標題。他寫道：

“宇宙浩瀚無垠，包含著無數(shù)的恒星……最簡單的生物會不斷繁衍，通過自然選擇進化，變得更加復雜，最終出現(xiàn)活躍且具有思維能力的生物。他們渴望新的世界……他們應該遍布整個銀河系。這些才華橫溢的人很難忽視像我們地球這樣美麗的地方。那么，費米提出了他那個令人難以抗拒的問題：‘如果這一切一直在發(fā)生，他們現(xiàn)在應該已經(jīng)到達這里了，那么他們在哪里？’——利奧·西拉德，一個有著頑皮幽默感的人，對費米悖論給出了完美的解答：‘他們在我們中間，’他說，‘但他們自稱匈牙利人’?！?/p>

2025年5月16日，“火星人”中最晚出生者之一、當代數(shù)學家彼得·拉克斯（PéterLax，1926-2025）走完了他長達九十九年的一生。他同樣漫長的學術人生，以匈牙利數(shù)學神童起步，十五周歲跨越大西洋抵達美利堅；讀大學時，他將青春和才華獻給了二戰(zhàn)中的原子彈研制工程，十八周歲發(fā)表了第一篇學術論文，戰(zhàn)后于柯朗（Richard Courant，1888-1972）在紐約大學創(chuàng)立的數(shù)學科學研究所，成長為美國數(shù)學界的領袖人物。

我讀過一本書《數(shù)學家彼得·拉克斯》（Peter Lax, Mathematician: An Illustrated Memoir），這是一本圖文并茂的回憶錄。書的封面印上了一張拉克斯的彩色照片，他站在大黑板前的講臺邊，頭顱微微上揚，左手翻開一本書，顯露出數(shù)學家的獨特氣質(zhì)。寫書人赫什（Reuben Hersh，1927-2020）僅比拉克斯小一歲半，卻是后者的博士生。

現(xiàn)在，我們就從拉克斯的祖國出發(fā)，沿著他走過的數(shù)學之路，琢磨他留下的深深腳印，探尋他將理論與實踐相結合實踐史。

匈牙利數(shù)學神童

在數(shù)學史上，匈牙利最傳奇的數(shù)學家是非歐幾何創(chuàng)始人之一波耶（János Bolyai，1802-1860）。

匈牙利數(shù)學的蓬勃發(fā)展，一方面由于數(shù)學家阿拉尼（Dániel Arany，1863-1945）在1894年創(chuàng)立的《中學數(shù)學雜志》（K?zépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok），其中的“問題征解”，激勵了許多數(shù)學愛好者；也得益于“厄特沃什競賽”，它以物理學家厄特沃什（Loránd E?tv?s，1848-1919）的名字命名。一百年前這個競賽的優(yōu)勝者中涌現(xiàn)出了一大批卓越的數(shù)學家，堪稱“匈牙利奇跡”。他們當中有黎斯兄弟——弗里杰斯（Frigyes Riesz，1880-1956）和馬塞爾（Marcel Riesz，1886-1969）、合作者波利亞和賽格（Gábor Szeg?，1895-1985）、布達佩斯大學數(shù)學教授費耶爾（Lipót Fejér，1880-1959）。對他們深有影響的匈牙利數(shù)學家柯尼希（Gyula K?nig，1849-1913），是德國數(shù)學家克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）的弟子?？履嵯５膬鹤哟髂崴梗―énes K?nig，1884-1944）寫出世界上第一本圖論著作。

20世紀最著名的“火星人”可能是馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957），他于1903年降生于布達佩斯一個富有的銀行家之府。時間過了近二十三年，又一個“火星人”降落到同城一家也很富有的醫(yī)生之家。這個男孩名叫彼得·拉克斯，有個哥哥叫約翰（John Lax，1925-2023），后者長大后成了一名有文學素養(yǎng)的物理學家。他們的父親亨里克(Henrik Lax，1895-1990)與母親克拉拉·科恩菲爾德（Klara Kornfield，1895-1973）都是內(nèi)科醫(yī)生，年輕時相識于醫(yī)學院。

約翰和彼得少年時期堪稱幸福，父母恩愛、生活富足，家有保姆和廚師。好日子持續(xù)到二戰(zhàn)爆發(fā)。父母當機立斷，決定全家前往大洋彼岸。1941年11月25日，拉克斯醫(yī)生夫婦拿到了赴美簽證，當日帶著兩個兒子上了火車奔赴葡萄牙里斯本，待到12月5日全家乘船前往紐約，這是之后四年中離開歐洲的最后一艘美國客船。

少年拉克斯對數(shù)學表現(xiàn)出興趣是在他十二歲那年。除了與生俱來的聰慧大腦外，以工程師為職業(yè)而以數(shù)學家為內(nèi)涵的舅舅對他很有影響。舅舅科恩菲爾德（Albert Kornfield，1898-1995）是厄特沃什競賽的數(shù)學賽折桂者，他和數(shù)學賽亞軍但為物理賽冠軍的西拉德成了終生朋友。當西拉德和愛因斯坦設計出一種新式冰箱時，科恩菲爾德進行了工程設計。

彼得進了明塔中學后，對數(shù)學的濃厚興趣爆發(fā)。發(fā)現(xiàn)次子數(shù)學早慧的父母請來了女性數(shù)學博士羅莎·彼得（Rózsa Péter，1905-1977）擔任他的私人教師。她把拉克斯引入了終生獻身數(shù)學的大道。有趣的是，老師的姓和學生的名拼寫完全一樣，似乎意味著師徒二人早就有了“數(shù)學情緣”。

彼得博士可不是普通數(shù)學人物，她之后成為數(shù)理邏輯的一名強者，被譽為“遞歸函數(shù)之母”，晚年被選為首位匈牙利科學院女院士。對于這位引路人，拉克斯回憶道：

“羅莎·彼得真棒。她沉浸于數(shù)學，對人們怎樣思考感興趣。那時我十二三歲，她做的第一件事是讓我讀漢斯·拉德馬赫和奧托·特普利茨合寫的《數(shù)學欣賞》?！?/p>

這本膾炙人口的經(jīng)典作品振奮了許多青少年，培養(yǎng)出他們對數(shù)學推理的熱愛，也加速了拉克斯的成長。彼得老師不滿足于僅灌輸知識，而是常會激勵小彼得“你能自己證明嗎？下周來試一下吧?！崩蠋熯€帶他去聽數(shù)學演講，他成了最年輕的參會者。

1940年，彼得博士讓年僅十四歲的拉克斯非官方地參加了厄特沃什競賽，因為他不是高中生，還不夠資格注冊參加。正式參賽者們坐在封閉的房間里攻克三道競賽題。拉克斯拿到題目后完美解答。第二年他再次非正式參賽，同樣做對了所有三道題，成了數(shù)學競賽的“無冕之王”。

拉克斯離開匈牙利前，彼得博士和柯尼希教授給在美國的馮·諾伊曼和賽格各自寫了信，請他們關注這位十五歲少年的非凡潛力。賽格太太是拉克斯母親的第一代表親，賽格自然會關照這個數(shù)學早熟的小親戚?？履嵯＝o馮·諾伊曼的信寫于1941年11月12日：

“我與年輕的彼得在數(shù)學領域接觸已有一年多。通過與他的私人交談以及他所做的計算工作（包括解決基礎數(shù)學問題），我確信這位年輕人擁有非凡的數(shù)學天賦。例如，連續(xù)兩年，他在數(shù)學和物理學會的競賽中，都以遠超正式參賽學生的水平完成了任務。如果能夠進一步培養(yǎng)和支持這位杰出的人才，這不僅符合彼得的利益，也符合整個社會的利益。因此，我懇請您，如果彼得·拉克斯向您提出問題或?qū)で蠼ㄗh，請您以對待未來科學家應有的善意回應他?！?/p>

美國成長歲月

抵達美國后，拉克斯全家定居紐約，彼得進了史岱文森高中讀書，但從未修過數(shù)學課，因為這些課對他而言太初等。還在讀高中時，長他十三歲的祖國同胞埃爾德什（PaulErd?s，1913-1996）邀請他訪問了普林斯頓高等研究院，特地向愛因斯坦介紹他是一位前途無量的匈牙利年輕數(shù)學家。果然，拉克斯一生中發(fā)表的首篇數(shù)學文章，解決了埃爾德什的一個猜想，證實埃爾德什之前的斷言不假。

因為受到祖國數(shù)學家朋友的重托，馮·諾伊曼對拉克斯很關心，建議他讀完高中后去找自己在哥倫比亞大學的合作者默里（Francis Murray，1911-1995）。而賽格建議他去投奔柯朗，因為柯朗不僅善于同年輕人一起工作，而且建立了一個哥廷根大學數(shù)學研究所式的研究機構。拉克斯認為“這是最好不過的建議”。

于是，拉克斯先在紐約大學讀了三個學期。他成了明星學生，比如，在一門復分析課程結束前，他就成了該課的“講師”。身材高大、長相英俊的他也在課堂里遇見了他未來的太太安妮莉·卡恩（Anneli Cahn，1922-1999）。

在完成學業(yè)前，拉克斯被征召入伍美國陸軍。不久他被送到得克薩斯農(nóng)工大學繼續(xù)深造，隨后又被派往橡樹嶺國家實驗室，繼而進了洛斯阿拉莫斯的原子彈曼哈頓計劃。在那里他從計算器操作員干起，但最終轉(zhuǎn)向數(shù)學研究。1944年，他發(fā)表了首篇學術論文《對埃爾德什關于多項式導數(shù)的一個猜想的證明》（Proof of a conjecture of P. Erd?s on the derivative of a polynomial）。根據(jù)谷歌學術網(wǎng)頁上的記錄，該文迄今為止已被引用了五百多次。

二戰(zhàn)結束后，拉克斯在洛斯阿拉莫斯又待了一年，同時在新墨西哥大學修課，然后又去斯坦福大學塞格和波利亞處學習了一個學期。1946-1947學年，他回到紐約大學，當年畢業(yè)。拉克斯留在了紐約大學攻讀研究生學位，導師為德裔數(shù)學家弗里德里希斯（Kurt Friedrichs，1901-1982），于1949年獲博士學位，博士論文是《兩個獨立變量的非線性雙曲偏微分方程組》（Nonlinear System of Hyperbolic Partial Differential Equations in Two Independent Variables）。

拉克斯和安妮莉于1948年結婚，他們恩愛一生，共同生活到金婚之年，直至太太去世。安妮莉去世后，拉克斯迎娶了柯朗的小女兒、樂團首席中提琴家洛里（Lori Courant，1928-2015）。

二十三周歲即被人稱為“博士”的拉克斯，沒有忘記事業(yè)起步的寶地洛斯阿拉莫斯國家實驗室，于1950年再度返回那里工作了一年。第二年，他回到紐約大學柯朗數(shù)學科學研究所擔任助理教授，從此他再也沒有離開這個研究所。1958年，他升為正教授，從1972年到1980年，他擔任所長。

拉克斯的科學人生成長史是天才基因、名師指點加上個人奮斗的嫁接果實。少年時代巧遇彼得博士而被精心栽培成可造之才，青年時代被一代巨匠弗里德里希斯帶進了偏微分方程的廣闊天地，在之后大約一個甲子的科學活動中，他的累累成果，震撼了數(shù)學世界，獲得了諸多國際獎勵。

此外他是下述科學院的院士或外籍院士：美國國家科學院；美國藝術和科學院；法國科學院；蘇聯(lián)科學院；匈牙利科學院；中國科學院。他是全世界十一所大學的名譽博士，包括北京大學（1993）。

拉克斯的數(shù)學成就

因為我是計算數(shù)學專業(yè)出身，我將首先介紹拉克斯對數(shù)值分析領域最著名的貢獻——“拉克斯等價原理”，這是關于求解偏微分方程數(shù)值解三個概念——相容性、穩(wěn)定性和收斂性之間關系的一條基本原理。它出自拉克斯與美國物理學家和數(shù)學家里希特邁爾（Robert Richtmyer，1910-2003）于1956年在《純粹與應用數(shù)學通訊》上發(fā)表的論文《線性有限差分方程穩(wěn)定性綜述》（Survey of the stability of linear finite difference equations）。

解微分方程的差分方法基本思想是用差商取代導數(shù)，將給定的微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組，其未知元是原先連續(xù)方程的解在離散網(wǎng)格點上的函數(shù)值。相容性意味著差分方程“逼近”微分方程，穩(wěn)定性指的是當網(wǎng)格尺寸越來越小時，對應差分格式的解不會“崩潰”，收斂性則表示當網(wǎng)格尺寸趨向于零時，差分方程的解“收斂”到微分方程的精確解。

這三個概念之間的關系如何？之前有數(shù)值工作者認為，不穩(wěn)定數(shù)值格式的崩潰是由于舍入誤差的放大。在洛斯阿拉莫斯國家實驗室，拉克斯聽了一個報告，演講者也肯定了上一句斷言，并說如果有一臺有無窮精度的計算機，那么甚至不穩(wěn)定的格式也會收斂。

在這個流行的觀點下，有人說，為了確認格式的有效性，必須同時證明穩(wěn)定性和收斂性。然而，拉克斯等價原理指出：求解線性偏微分方程，一個相容的數(shù)值逼近格式是收斂的當且僅當它是穩(wěn)定的。這個定理的價值在于它否定了不穩(wěn)定格式的收斂性，糾正了之前的錯誤認識。然而，如此重要的結論，其嚴格數(shù)學證明只有大概一頁紙長，僅基于泛函分析中的“一致有界原理”，是抽象分析學結果的一個直接應用。這正顯示了拉克斯的強項：將純粹數(shù)學的思想用于解決實際問題。拉克斯在三十歲時展現(xiàn)給世人的這項工作，也隱含了一個關鍵性的理念：要想在計算數(shù)學做出有影響力的工作，純粹數(shù)學的根基很起作用。

上面講的是拉克斯在偏微分方程的計算方面作出的貢獻，它具有基本的重要性，因而最廣為人知。他對于偏微分方程領域影響力巨大的一項純理論性研究在1957年問世：《振蕩初值問題的漸近解》（Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems），登于《杜克數(shù)學雜志》。我們引用拉克斯對此項工作的三句話來領略一下這篇文章的重要性：“它是對正在發(fā)生的事情的微局部描述。它結合了從宏觀和微觀兩個角度來看待問題，這賦予了它強大的力量。微局部觀點的數(shù)值實現(xiàn)是通過小波及其類似的方法，這些方法在數(shù)值上非常強大。”

文章中的“微局部”思想，后來被1962年菲爾茲獎得主霍爾曼德爾（Lars H?rmander，1931-2012）等人推廣，構成了一門新學問“傅里葉積分算子微積分”。拉克斯的博士生導師弗里德里希斯以及在柯朗數(shù)學科學研究所的同學兼同事尼倫伯格（Louis Nirenberg，1925-2020）也位列其中，他們發(fā)展出了“偽微分算子”這一通過傅里葉變換的微分算子推廣物。該術語也稱為“微局部分析”。

拉克斯在其深耕的散射理論和激波領域（兩者均橫跨純粹數(shù)學和應用數(shù)學）留下了專著，其中對散射理論他寫了兩本書，都是和泛函分析名家菲利普斯（Ralph Phillips，1913-1998）合著的，分別為1967年出版、1989年修訂再版的《散射理論》（Scattering Theory）和1976年出版的《自守函數(shù)的散射理論》（Scattering Theory for Automorphic Functions）。數(shù)學史上德國人克萊因（Felix Klein，1849-1925）同法國人龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）暗地里競賽研究自守函數(shù)，前者最終因身體透支而敗下陣來，可見這是挑戰(zhàn)過人類高智商人物的一個學科。拉克斯和菲利普斯能將具體歐氏空間的散射理論推廣到更加抽象的散射理論，實屬非凡的創(chuàng)造。

《自守函數(shù)的散射理論》和《雙曲守恒定律系統(tǒng)和激波的數(shù)學理論》

拉克斯于1973年由美國工業(yè)與應用數(shù)學學會出版了一部包含激波理論的專著《雙曲守恒定律系統(tǒng)和激波的數(shù)學理論》（Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves）。之后的幾十年間，激波計算成為科學計算領域中的一個重要組成部分。

普及數(shù)學的先鋒

拉克斯不局限于只當數(shù)學科學家，終其一生他還是一位積極的數(shù)學教育家，寫了多部風格獨特、極受歡迎的教科書，范圍廣博，從微積分、線性代數(shù)到泛函分析都有。他的書也教得很好，和他的前輩馮·卡門一樣廣受稱贊。在他獲得的眾多獎項中，便包括1995年紐約大學授予他的杰出教學獎。此外，他為美國數(shù)學協(xié)會的旗艦雜志《美國數(shù)學月刊》寫了多篇闡述性文章。

拉克斯寫教科書的一個動因是對同類教材的不甚滿意，于是決定親自出馬。照理說，像他這樣的創(chuàng)造型大學者，對寫教材這類事，尤其是像微積分這樣的“初等教科書”，不必勞駕自己下山操刀了，況且研究家們大都在忙于研究，很難擠出時間寫作大學生讀物。這里僅以拉克斯出版的《線性代數(shù)》（Linear Algebra）研究生教材為例，試圖梳理他對教科書寫作的理念。

幾十年來，有兩類線性代數(shù)的教材，一種可視為“有限維空間的泛函分析”，這種充滿集合論語言的寫作風格，以匈牙利裔美國數(shù)學家哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的經(jīng)典名著《有限維向量空間》（Finite Dimensional Vector Spaces）為代表。另一種則以矩陣為工具，以計算為特色，展現(xiàn)了許多與求解線性方程組相關的技術和定理。前者可能對訓練未來的分析數(shù)學家有益，應用學科的學生可能更鐘情后者。

認識到線性代數(shù)在高速計算機時代“線性數(shù)值分析”中越發(fā)重要的作用，拉克斯在他的《線性代數(shù)》中放進了不少對當代科技發(fā)展十分有用但在其他教材中鮮為人知的“分析結果”，并插入了許多物理應用詮釋這些理論。他在該書的導言中坦誠指出，“線性代數(shù)美妙之處，對分析學家和物理學家如此有用，卻經(jīng)常在教科書中被忽略”。他的目的是減少理論與應用之間的失衡，用純粹數(shù)學之手，寫出應用數(shù)學之書。

一篇刊登在2001年11月期《美國數(shù)學月刊》上的書評這樣寫道：“我認為這本書值得在每個數(shù)學家的書架上都占有一席之地。它的證明直接、新穎、優(yōu)雅，其呈現(xiàn)方式也啟發(fā)人們重新思考那些有時過于千篇一律的內(nèi)容。”

分析數(shù)學家克蘭茨（Steven G. Krantz，1951-）對拉克斯于2002年出版的研究生教科書《泛函分析》（Functional Analysis）的書評是：“本書的學習者將獲得真正的教育——不僅在基礎泛函分析方面，更在實際的泛函分析實踐方面。本書之所以具有真正的力量和權威，是因為它是由一位在過去六十年中推動這些思想發(fā)展的大師所著?！?/p>

因其出色的闡述性寫作，拉克斯于1974年榮獲美國數(shù)學協(xié)會的肖維內(nèi)獎，這是它每年頒發(fā)的最高寫作獎。他發(fā)表于《美國數(shù)學月刊》的文章被這個全世界讀者人數(shù)最多的數(shù)學雜志授予萊斯特·R·福特獎兩次。第一次是在1966年，獲獎的文章是《偏微分方程的數(shù)值解》（Numerical solutions of partial differential equations），第二次是在七年后，獲獎文章為《激波的形成和衰減》（The formation and decay of shock waves）。

拉克斯與他的前輩同胞科學巨人馮·諾伊曼在許多方面很相像。他們都是公認的數(shù)學奇才，在數(shù)學的多個領域留下深刻的印記，都腳踏純粹數(shù)學與應用數(shù)學的“連環(huán)大船”，乘風破浪，所向披靡。

拉克斯對馮·諾伊曼佩服得五體投地，多次在寫作或演講中提及他的天才和洞見。某次當他談論馮·諾伊曼的科學通信時，這樣寫道：“要衡量馮·諾伊曼的成就，不妨想象一下，如果他能活到正常的年齡，他肯定會獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。如果諾貝爾獎設立計算機科學和數(shù)學獎，他也會獲得這些獎項。因為他在物理學，尤其是量子力學方面的貢獻，這些信件的作者應該被認為是三項諾貝爾獎得主，或者可能是三個半諾貝爾獎得主?！?/p>

至于拉克斯，他是繼承馮·諾伊曼衣缽的新一代“火星人”。他的逝世，意味著參加過洛斯阿拉莫斯核彈研制的那批科學家中的最年輕的一位，走進了歷史。他的數(shù)學偉績和精彩人生將被人銘記，數(shù)學家們在追求數(shù)學真理、應用數(shù)學知識的大道上繼續(xù)跟隨他的腳步勇往直前。

科學經(jīng)典推薦

《數(shù)學家彼得·拉克斯》

【美】赫什著

赫什將書中主角描繪得栩栩如生，在他筆下，拉克斯一次次地展示了應用數(shù)學的理論豐富性，“為純粹數(shù)學和應用數(shù)學這兩個密不可分、不甚相容的孿生學科之間通?？梢姷南嗷ゲ蛔鹬靥峁┝艘粋€獨特的例外”。

來源：“返樸”公眾號

撰文：丁玖（廣州南方學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授）