科技日報廣州1月15日電 （記者葉青 通訊員華軒）記者15日從華南理工大學(xué)獲悉，該校數(shù)學(xué)學(xué)院副教授姚若飛與西安交通大學(xué)教授陳紅斌、澳門大學(xué)教授桂長峰合作的一項研究，破解了數(shù)學(xué)界的“熱點(diǎn)猜想”關(guān)鍵難題。相關(guān)成果13日在線發(fā)表于國際期刊《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》。

想象一個絕熱的房間，墻壁既不吸熱也不放熱，若在某處短暫加熱，熱量便會從高溫向低溫擴(kuò)散。隨時間推移，房間內(nèi)溫度逐漸趨于一致；但只要系統(tǒng)尚未完全均勻，房間內(nèi)就仍會存在“最熱點(diǎn)”與“最冷點(diǎn)”。

“直覺上，人們傾向于認(rèn)為，在時間足夠長但尚未達(dá)到平衡時，這些極熱或極冷點(diǎn)更可能出現(xiàn)在墻面邊緣，而非房間內(nèi)部。這正是美國數(shù)學(xué)家Rauch于1974年提出的‘熱點(diǎn)猜想’?！币θ麸w介紹，“在數(shù)學(xué)家的眼里，‘熱點(diǎn)猜想’可等價表述為：對于平面上的凸區(qū)域，拉普拉斯算子在絕熱邊界條件下的第二特征函數(shù)，其最大值和最小值只能在該區(qū)域的邊界上取得?！?/p>

半個多世紀(jì)以來，“熱點(diǎn)猜想”持續(xù)吸引著國際數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。雖然多位學(xué)者圍繞不同幾何區(qū)域和特殊情形取得了一系列重要進(jìn)展，但作為最基本的凸多邊形之一，平面三角形雖結(jié)構(gòu)簡明，其特征函數(shù)的精細(xì)行為分析卻極具挑戰(zhàn)，因為它既是“熱點(diǎn)猜想”研究中的關(guān)鍵難點(diǎn)，也是檢驗相關(guān)理論與方法的重要基礎(chǔ)模型。

在這項研究中，科研團(tuán)隊聚焦三角形情形，開展了系統(tǒng)而深入的分析。歷經(jīng)13年，他們不僅解決了菲爾茲獎得主陶哲軒于2012年在Polymath Project7中提出的“最大值的精確位置”公開問題，還推進(jìn)并完善了《數(shù)學(xué)年刊》2020年相關(guān)文章關(guān)于臨界點(diǎn)的公開問題及其主要結(jié)論，并對特征函數(shù)單調(diào)性問題給出了解答。

姚若飛回憶，在關(guān)鍵技術(shù)路線上，他們曾嘗試以復(fù)分析思路切入，但進(jìn)展受阻。隨后，他們采用“直接證明對稱性”的思路推進(jìn)，局面由此逐步打開。

此外，該研究還就特征函數(shù)節(jié)點(diǎn)線位置、混合邊值問題的特征值不等式等若干公開問題給出了進(jìn)一步解答。

在三角形這一基礎(chǔ)幾何模型中，科研團(tuán)隊圍繞第二絕熱特征函數(shù)的一系列關(guān)鍵結(jié)構(gòu)問題給出了系統(tǒng)且嚴(yán)格的結(jié)論。相關(guān)方法與結(jié)果可為譜幾何、偏微分方程及相關(guān)方向的后續(xù)研究提供參考。

(責(zé)編：楊曦、陳鍵)