原創(chuàng)：吳昊

        

作者 | 吳昊 & 編輯 | 羅數(shù)君

文 1691字 閱讀時間約 5分鐘

導語：

有人說拋開考試，數(shù)學對人們的工作與生活作用很小。其實，數(shù)學于很多方面都能為人們提供更加嚴謹、高效的思路。今天我們就以華羅庚優(yōu)選法為例，探討它如何幫助人們做出“最優(yōu)選擇”。

提起華羅庚，家長們的第一印象大都是他引領的國內(nèi)奧數(shù)風潮：從蘇聯(lián)訪問歸來之后，華羅庚受啟發(fā)于蘇聯(lián)通過大力普及推廣數(shù)學競賽來提高人民數(shù)學水平并從而加速國家工業(yè)發(fā)展的實踐，他也開始在國內(nèi)舉辦大型的數(shù)學競賽，開始了“全民奧數(shù)”運動。但當年他之所以家喻戶曉，還是主要因為他在全國巡講統(tǒng)籌法與優(yōu)選法“雙法“，以期幫助各行業(yè)的工人最迅捷有效地完成他們的工作。

統(tǒng)籌法大家可能都有所了解，就是通過安排任務順序和時間，來縮短一串任務的總完成時間。比如課本里的“燒茶水”問題，或是小學奧數(shù)里經(jīng)典的“烙餡餅”問題：如果烙熟餡餅的一面要 1 分鐘，那烙熟兩面就總共需要 2 分鐘?，F(xiàn)在有兩個爐子，請問最快需要幾分鐘，能把三張餅烤熟？但提到優(yōu)選法，很多人可能就一頭霧水了。

圖片來源：維基百科-華羅庚

其實，統(tǒng)籌法和優(yōu)選法都屬于運籌學（Operations Research）的范疇。運籌學就是通過建模尋找復雜問題的近似最優(yōu)解，統(tǒng)籌負責安排工序，而優(yōu)選負責尋找參數(shù)。比如假設加工一種零件需要高溫（300度 – 400度），但問題在于大家不知道具體多高的溫度能最大化加工效率——高一點的溫度需要更多時間冷卻，而低一點的溫度需要更長的加熱時間。如何找到一個平衡點呢？

如果實驗材料充足且時間充裕，那么對溫度進行枚舉是個不錯的選擇。但在現(xiàn)實中，當時環(huán)境只允許少量的實驗和短暫的時間，這時我們就不能隨意選擇溫度，而要保證在數(shù)據(jù)點較少的情況下，無論最值在哪里，我們估計的近似值都足夠精確。這種選擇“好”的數(shù)據(jù)點來進行近似的方法，就是優(yōu)選法。

華羅庚在他當時傳閱甚廣的著作《優(yōu)選法平臺及其補充》的第一章中，便詳細介紹了用黃金比例分割取值區(qū)間來選擇數(shù)據(jù)點的方法，如圖（圖并非書中原圖）：

圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Golden-section_search

繼續(xù)上面的例子，我們希望最小化 f 的值，也就是時間。為了簡化步驟，我們假設f只有一個極小值（就是兩邊的值都比自身大的地方），而且 f 相對平滑。X 軸代表溫度，縱向軸則代表時間。為了測量邊界情況，我們先把 300 和 400 分別代入 x1 和 x3，分別算出 f1 和 f3，并取中間的某一點作為 x2，算出 f2。假設在這個例子中，f2 比邊界的兩個值都要小，那么我們的探索就還沒有結(jié)束，所以需要在 x2 和 x3 之間繼續(xù)尋找 x4 并算出對應的 f4。

如果 f4 在 a 位置，也就是高于 f2，我們的下一步就應該考慮 x1 到 x4 這個區(qū)間，因為在 x4 到 x3 這個區(qū)間函數(shù)突然大跌到最低點的可能性不大；同理，如果 f4 在 b 位置，也就是低于 f2，我們的下一步就應該考慮 x2 到 x3 這個區(qū)間。不論哪種情況，我們都要根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)點的排布來估計整體函數(shù)的趨勢，因為函數(shù)在某個區(qū)間相對平滑的可能性遠大于它突然猛烈下跌、再猛烈上漲的可能性。

那么這和黃金比例有什么關系呢？華羅庚推薦的這種優(yōu)選法有兩個核心理念：第一，不論上一步的結(jié)果如何，下一步要測試的取值區(qū)間長度都應該相等；第二，每一步前后的取值區(qū)間長度比例也應該相等。根據(jù)這兩個理念，我們得到以下兩個式子：

把第一行式子代入到第二行，就可以得到 b/ ( a + b) = a / b 。簡單的交叉相乘就可以得到 b^2 =a^2 + ab。如果把 b 設為 1，就能得到 a^2 + a - 1 = 0 求解可得 a = (-1 +√5) / 2 或 (-1 -√5) / 2。后面的這個解明顯是負數(shù)，所以我們只能取前面的這個解，大約是 0.618，而 a∶ b ≈ 0.618∶ 1 也就是我們常說的黃金分割比。

如果現(xiàn)有材料只夠我們做 5 次試驗，我們就只需重復上述步驟 5 次，采集到所有數(shù)據(jù)點中的最小值就是我們所取的近似最小值。是不是很簡單呢？

當然，現(xiàn)實中大部分函數(shù)都不會只有一個極值，而且也不會像我們這里假設的那樣非常平滑。要想在這些復雜的情況中找到最優(yōu)解的近似值，我們需要更復雜的計算和更多的步驟，但最終優(yōu)選法的思路還是不變的：通過在現(xiàn)有區(qū)間的中間找數(shù)據(jù)點來不斷縮小可能的取值區(qū)間，一直到足夠精確（看不出上次和本次區(qū)別）或者次數(shù)已滿，這時所采集的所有數(shù)據(jù)點中的最小值就是我們近似出的最優(yōu)解。

圖片來源：pixabay

這個方法在我們?nèi)粘Ｉ钪挟斎灰部梢允褂茫热缈照{(diào)設置的溫度：如果溫度太低會使用大量的電，產(chǎn)生多余的電費；如果溫度不夠低，則仍需通過其他方式比如買冰鎮(zhèn)汽水來降暑。以周為單位做實驗的話，可以先設置一個合理區(qū)間，比如 16 到 24 攝氏度，然后每周根據(jù)上述步驟來采集新的數(shù)據(jù)點，在暑假過半時取所有點中花費最少錢的溫度，來近似最優(yōu)解。

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閱讀原文（“羅博深數(shù)學”公眾號：LuoboshenMath）