密碼學(xué)家王曉云日前獲得了2019年未來科學(xué)大獎數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎。她提出密碼哈希函數(shù)的碰撞攻擊理論，推動幫助新一代密碼哈希函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)，已在金融、交通等重要領(lǐng)域廣泛使用，并對支撐網(wǎng)絡(luò)信息安全方面作出重要貢獻(xiàn)。

數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，其實(shí)力往往影響著國家實(shí)力。幾乎所有重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學(xué)的發(fā)展相關(guān)，它是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。

日前，科技部、教育部、中科院、自然科學(xué)基金委聯(lián)合制定了《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)研究的重要性。

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)，并成為航空航天、國防安全、生物醫(yī)藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進(jìn)制造等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐。那么，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？經(jīng)濟(jì)日報(bào)記者采訪了專業(yè)數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)愛好者，試圖求解。

如何理解數(shù)學(xué)思維

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院副研究員周川認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思維?！皵?shù)學(xué)思維是指在思考和解決問題過程中對數(shù)學(xué)思想、方法的合理運(yùn)用能力。數(shù)學(xué)思維不是一種知識，而是一種能力。數(shù)學(xué)思維是搭建數(shù)學(xué)世界最重要的根基，不管是純粹的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究，還是把數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到其他領(lǐng)域，數(shù)學(xué)思維都發(fā)揮著重要作用?！敝艽ㄕf。

具體來講，數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等。它如同數(shù)學(xué)這棵參天大樹的龐大根系，雖然從外表上看不見，卻為數(shù)學(xué)提供著重要的營養(yǎng)源泉?！拔覀兂Ｕf數(shù)學(xué)是優(yōu)美的，這種美就主要體現(xiàn)在它的思維之美?！敝艽ㄕf。

數(shù)學(xué)思維之美，在于實(shí)用和理性的平衡之美。數(shù)學(xué)愛好者張建對記者舉例說，以數(shù)學(xué)分支之一的統(tǒng)計(jì)學(xué)為例，在解決現(xiàn)實(shí)問題過程中，統(tǒng)計(jì)學(xué)給人以簡潔明快的美感。大數(shù)定律、中心極限定律、貝葉斯概率等基本統(tǒng)計(jì)規(guī)律，呈現(xiàn)出概念世界和知覺世界一致之后的和諧。其背后的一系列定理，對于理性和經(jīng)驗(yàn)、理論和實(shí)踐、演繹和歸納、公理體系和算法程序的均衡統(tǒng)一，具有舉足輕重的作用。“資料顯示，有些精密科學(xué)可以依靠明確的定義和邏輯有所發(fā)展，有些問題要靠近似的測量解決，需要誤差理論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等統(tǒng)計(jì)學(xué)智慧實(shí)現(xiàn)?！睆埥ㄕf。

數(shù)學(xué)思維之美，在于凌駕于其他學(xué)科之上的“霸王”之美。資料顯示，現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)是2500年前希臘的《幾何原本》。但凡稱得上科學(xué)的學(xué)科一定具備兩個特點(diǎn)：一是具備像《幾何原本》那樣的公理系統(tǒng)；二是可以用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證假設(shè)。物理學(xué)是建立在數(shù)學(xué)之上的，化學(xué)又是建立在物理學(xué)之上的，生物學(xué)又是建立在物理和化學(xué)之上的。歸根結(jié)底，所有現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)都是數(shù)學(xué)。“例如，就人工智能領(lǐng)域而言，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)的全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是偏微分方程和線性代數(shù)，人工智能其他流派則涉及概率論和隨機(jī)過程。今日的人工智能，很難離開大數(shù)據(jù)及其相關(guān)統(tǒng)計(jì)變量的加持。要想在該領(lǐng)域有所建樹，扎實(shí)而高級的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可或缺?！睆埥ㄕf。

周川認(rèn)為，數(shù)學(xué)之美在于其定義的深刻，邏輯的明晰，結(jié)果的簡潔。比如，著名的哥德巴赫猜想“任何一個大于4的偶數(shù)都可以寫成兩個素?cái)?shù)之和”，簡潔卻不失深刻，十分美妙。英國大數(shù)學(xué)家哈代曾經(jīng)說過，“美是好數(shù)學(xué)的試金石，丑陋的數(shù)學(xué)不可能永存”。哈代的這種想法與他崇尚數(shù)學(xué)的藝術(shù)性有關(guān)，但也在一定程度上反映出數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)理論的美學(xué)追求。

如何擁有數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維如此重要，怎樣才能獲得？做題是首要途徑。

周川對記者表示，做題的目的是為了檢驗(yàn)對知識的掌握情況、強(qiáng)化對知識的認(rèn)知理解、開拓思維。任何科學(xué)研究，都是一個不斷試錯的過程，數(shù)學(xué)研究也不例外?！懊媾R一個數(shù)學(xué)問題時，通常會大膽假設(shè)，發(fā)散思維，嘗試多種不同思路，小心推演證明，看看哪條思路可行且漂亮?！敝艽ㄕf，“做題可以幫助數(shù)學(xué)工作者加深知識理解、開拓創(chuàng)新思維、刺激新穎想法，這些對于科研工作大有裨益?！?/p>

周川認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究不會一帆風(fēng)順，對于真正的難題，通常容易想到的思路與方法往往并不奏效，這就需要在數(shù)學(xué)研究中保持足夠的勇氣與毅力，遇到困難要有“逢山開路、遇水搭橋”的魄力，努力前行直至目的地，雖然這個過程可能會很漫長。

此外，多閱讀數(shù)學(xué)名著也很重要。數(shù)學(xué)研究者王曉晨對記者表示，他書桌上常年放有華羅庚的《高等數(shù)學(xué)引論》、莫里斯·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》等經(jīng)典著作?！斑@些書籍里面的奇思妙想，時常給人以靈感，讓我們這些專業(yè)數(shù)學(xué)研究人員一現(xiàn)靈光，獲取難能可貴的創(chuàng)新性想法?！?/p>

在王曉晨眼中，數(shù)學(xué)名著大多言簡意賅，一針見血，不論對于專業(yè)研究者還是其他領(lǐng)域的工作人員，都會產(chǎn)生啟迪。譬如，在《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》第三卷中，有這樣的話語：“好奇心是做數(shù)學(xué)工作的驅(qū)動力。一個特殊的結(jié)果何時才是真的？這是否是最佳的證明，或者還有更自然或更漂亮的證明？……如果總在問自己這樣的問題，遲早會出現(xiàn)解答的閃光——發(fā)現(xiàn)研究的可能性道路?！薄鞍褦?shù)學(xué)看成是各個分離的分支集合，這個想法是有誘惑力的，這些分支有幾何、代數(shù)、分析、數(shù)論等。幾何主要是企圖了解‘空間’的概念，代數(shù)則是了解操弄符號的藝術(shù)，分析是去接觸‘無限’和‘連續(xù)統(tǒng)’，如此等等。”王曉晨說。

如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，可謂靈活多變，魔術(shù)一般，神奇非凡。其應(yīng)用更多體現(xiàn)在如何用數(shù)學(xué)的方式來思考和解決問題。

例如，周川目前主要從事的圖數(shù)據(jù)建模和算法研究是當(dāng)下競爭最激烈的研究方向之一。該研究方向的一個基本思路，是將數(shù)據(jù)以圖的形式組織、建模和分析。記者了解到，這樣的思維方式，最早可追溯到著名的哥尼斯堡七橋問題：在18世紀(jì)歐洲東普魯士哥尼斯堡的城市近郊，普雷蓋爾河穿城而過。河中有兩個島，兩岸和兩島之間架有7座橋。當(dāng)時城中居民熱烈地討論著這樣一個問題：一個散步者從一個地方出發(fā)，怎樣走才能一次性、不重復(fù)地走遍所有7座橋，最終還能回到原始出發(fā)點(diǎn)？

“這個問題初看起來好像不太難，很多人都想試一試，但結(jié)果誰也找不出答案。當(dāng)時，大數(shù)學(xué)家歐拉從眾人的失敗中想到，這樣的走法可能根本不存在。歐拉是如何建模分析這個問題的呢？”周川解釋說，事實(shí)上，歐拉用到的建模工具就是“圖”。在這個圖里，有4個節(jié)點(diǎn)和7條邊，節(jié)點(diǎn)代表兩岸與兩島，邊則代表橋。歐拉把七橋問題轉(zhuǎn)化成圖上特殊路徑的尋找問題。隨后，他通過數(shù)學(xué)方法，嚴(yán)格證明了這樣的特殊路徑不存在，為七橋問題畫上了圓滿句號。

歐拉思考問題的方式，是極具代表性的思維范式，直至今日仍有很強(qiáng)指導(dǎo)意義。由于數(shù)據(jù)實(shí)體間往往存在復(fù)雜關(guān)聯(lián)，從圖的角度對數(shù)據(jù)組織建模，通常會得到更高的分析和挖掘精度。“比方，在網(wǎng)頁重要性排序問題中，通常將網(wǎng)頁看作圖中節(jié)點(diǎn)，超鏈接看作圖中連邊，用數(shù)學(xué)中的馬氏過程來刻畫用戶在互聯(lián)網(wǎng)上的網(wǎng)頁瀏覽行為。在這種數(shù)學(xué)模型框架下，網(wǎng)頁重要性排序問題就轉(zhuǎn)化為對應(yīng)馬氏過程平穩(wěn)分布的求解問題。這種轉(zhuǎn)換，為網(wǎng)頁重要性排序問題提供了新思考方式和更有效的解決方案。”周川說。

“當(dāng)你真正體驗(yàn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的妙處，會頓覺‘?dāng)?shù)學(xué)為自然科學(xué)之源’的論述著實(shí)精辟?！睆埥ㄕf。

（原題為《《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》日前發(fā)布——數(shù)學(xué)思維今何在》）