密碼學家王曉云日前獲得了2019年未來科學大獎數(shù)學與計算機科學獎。她提出密碼哈希函數(shù)的碰撞攻擊理論，推動幫助新一代密碼哈希函數(shù)標準的設計，已在金融、交通等重要領域廣泛使用，并對支撐網(wǎng)絡信息安全方面作出重要貢獻。

數(shù)學作為自然科學的基礎，其實力往往影響著國家實力。幾乎所有重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學的發(fā)展相關，它是學習和研究現(xiàn)代科學技術(shù)必不可少的基本工具。

日前，科技部、教育部、中科院、自然科學基金委聯(lián)合制定了《關于加強數(shù)學科學研究工作方案》，強調(diào)了數(shù)學研究的重要性。

數(shù)學是自然科學的基礎，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎，并成為航空航天、國防安全、生物醫(yī)藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進制造等領域不可或缺的重要支撐。那么，數(shù)學的本質(zhì)是什么？經(jīng)濟日報記者采訪了專業(yè)數(shù)學研究者和數(shù)學愛好者，試圖求解。

如何理解數(shù)學思維

中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院副研究員周川認為，數(shù)學的本質(zhì)在于數(shù)學思維?！皵?shù)學思維是指在思考和解決問題過程中對數(shù)學思想、方法的合理運用能力。數(shù)學思維不是一種知識，而是一種能力。數(shù)學思維是搭建數(shù)學世界最重要的根基，不管是純粹的數(shù)學學習與數(shù)學研究，還是把數(shù)學工具應用到其他領域，數(shù)學思維都發(fā)揮著重要作用?！敝艽ㄕf。

具體來講，數(shù)學思維包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等。它如同數(shù)學這棵參天大樹的龐大根系，雖然從外表上看不見，卻為數(shù)學提供著重要的營養(yǎng)源泉?！拔覀兂Ｕf數(shù)學是優(yōu)美的，這種美就主要體現(xiàn)在它的思維之美。”周川說。

數(shù)學思維之美，在于實用和理性的平衡之美。數(shù)學愛好者張建對記者舉例說，以數(shù)學分支之一的統(tǒng)計學為例，在解決現(xiàn)實問題過程中，統(tǒng)計學給人以簡潔明快的美感。大數(shù)定律、中心極限定律、貝葉斯概率等基本統(tǒng)計規(guī)律，呈現(xiàn)出概念世界和知覺世界一致之后的和諧。其背后的一系列定理，對于理性和經(jīng)驗、理論和實踐、演繹和歸納、公理體系和算法程序的均衡統(tǒng)一，具有舉足輕重的作用。“資料顯示，有些精密科學可以依靠明確的定義和邏輯有所發(fā)展，有些問題要靠近似的測量解決，需要誤差理論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計等統(tǒng)計學智慧實現(xiàn)?！睆埥ㄕf。

數(shù)學思維之美，在于凌駕于其他學科之上的“霸王”之美。資料顯示，現(xiàn)代科學的基礎是2500年前希臘的《幾何原本》。但凡稱得上科學的學科一定具備兩個特點：一是具備像《幾何原本》那樣的公理系統(tǒng)；二是可以用實驗驗證假設。物理學是建立在數(shù)學之上的，化學又是建立在物理學之上的，生物學又是建立在物理和化學之上的。歸根結(jié)底，所有現(xiàn)代科學的基礎都是數(shù)學?！袄?，就人工智能領域而言，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的機器學習的全部數(shù)學基礎就是偏微分方程和線性代數(shù)，人工智能其他流派則涉及概率論和隨機過程。今日的人工智能，很難離開大數(shù)據(jù)及其相關統(tǒng)計變量的加持。要想在該領域有所建樹，扎實而高級的數(shù)學素養(yǎng)不可或缺?！睆埥ㄕf。

周川認為，數(shù)學之美在于其定義的深刻，邏輯的明晰，結(jié)果的簡潔。比如，著名的哥德巴赫猜想“任何一個大于4的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和”，簡潔卻不失深刻，十分美妙。英國大數(shù)學家哈代曾經(jīng)說過，“美是好數(shù)學的試金石，丑陋的數(shù)學不可能永存”。哈代的這種想法與他崇尚數(shù)學的藝術(shù)性有關，但也在一定程度上反映出數(shù)學家對數(shù)學理論的美學追求。

如何擁有數(shù)學思維

數(shù)學思維如此重要，怎樣才能獲得？做題是首要途徑。

周川對記者表示，做題的目的是為了檢驗對知識的掌握情況、強化對知識的認知理解、開拓思維。任何科學研究，都是一個不斷試錯的過程，數(shù)學研究也不例外。“面臨一個數(shù)學問題時，通常會大膽假設，發(fā)散思維，嘗試多種不同思路，小心推演證明，看看哪條思路可行且漂亮。”周川說，“做題可以幫助數(shù)學工作者加深知識理解、開拓創(chuàng)新思維、刺激新穎想法，這些對于科研工作大有裨益?！?/p>

周川認為，數(shù)學研究不會一帆風順，對于真正的難題，通常容易想到的思路與方法往往并不奏效，這就需要在數(shù)學研究中保持足夠的勇氣與毅力，遇到困難要有“逢山開路、遇水搭橋”的魄力，努力前行直至目的地，雖然這個過程可能會很漫長。

此外，多閱讀數(shù)學名著也很重要。數(shù)學研究者王曉晨對記者表示，他書桌上常年放有華羅庚的《高等數(shù)學引論》、莫里斯·克萊因的《古今數(shù)學思想》《普林斯頓數(shù)學指南》等經(jīng)典著作。“這些書籍里面的奇思妙想，時常給人以靈感，讓我們這些專業(yè)數(shù)學研究人員一現(xiàn)靈光，獲取難能可貴的創(chuàng)新性想法?！?/p>

在王曉晨眼中，數(shù)學名著大多言簡意賅，一針見血，不論對于專業(yè)研究者還是其他領域的工作人員，都會產(chǎn)生啟迪。譬如，在《普林斯頓數(shù)學指南》第三卷中，有這樣的話語：“好奇心是做數(shù)學工作的驅(qū)動力。一個特殊的結(jié)果何時才是真的？這是否是最佳的證明，或者還有更自然或更漂亮的證明？……如果總在問自己這樣的問題，遲早會出現(xiàn)解答的閃光——發(fā)現(xiàn)研究的可能性道路。”“把數(shù)學看成是各個分離的分支集合，這個想法是有誘惑力的，這些分支有幾何、代數(shù)、分析、數(shù)論等。幾何主要是企圖了解‘空間’的概念，代數(shù)則是了解操弄符號的藝術(shù)，分析是去接觸‘無限’和‘連續(xù)統(tǒng)’，如此等等?！蓖鯐猿空f。

如何應用數(shù)學思維

數(shù)學思維的應用，可謂靈活多變，魔術(shù)一般，神奇非凡。其應用更多體現(xiàn)在如何用數(shù)學的方式來思考和解決問題。

例如，周川目前主要從事的圖數(shù)據(jù)建模和算法研究是當下競爭最激烈的研究方向之一。該研究方向的一個基本思路，是將數(shù)據(jù)以圖的形式組織、建模和分析。記者了解到，這樣的思維方式，最早可追溯到著名的哥尼斯堡七橋問題：在18世紀歐洲東普魯士哥尼斯堡的城市近郊，普雷蓋爾河穿城而過。河中有兩個島，兩岸和兩島之間架有7座橋。當時城中居民熱烈地討論著這樣一個問題：一個散步者從一個地方出發(fā)，怎樣走才能一次性、不重復地走遍所有7座橋，最終還能回到原始出發(fā)點？

“這個問題初看起來好像不太難，很多人都想試一試，但結(jié)果誰也找不出答案。當時，大數(shù)學家歐拉從眾人的失敗中想到，這樣的走法可能根本不存在。歐拉是如何建模分析這個問題的呢？”周川解釋說，事實上，歐拉用到的建模工具就是“圖”。在這個圖里，有4個節(jié)點和7條邊，節(jié)點代表兩岸與兩島，邊則代表橋。歐拉把七橋問題轉(zhuǎn)化成圖上特殊路徑的尋找問題。隨后，他通過數(shù)學方法，嚴格證明了這樣的特殊路徑不存在，為七橋問題畫上了圓滿句號。

歐拉思考問題的方式，是極具代表性的思維范式，直至今日仍有很強指導意義。由于數(shù)據(jù)實體間往往存在復雜關聯(lián)，從圖的角度對數(shù)據(jù)組織建模，通常會得到更高的分析和挖掘精度?！氨确剑诰W(wǎng)頁重要性排序問題中，通常將網(wǎng)頁看作圖中節(jié)點，超鏈接看作圖中連邊，用數(shù)學中的馬氏過程來刻畫用戶在互聯(lián)網(wǎng)上的網(wǎng)頁瀏覽行為。在這種數(shù)學模型框架下，網(wǎng)頁重要性排序問題就轉(zhuǎn)化為對應馬氏過程平穩(wěn)分布的求解問題。這種轉(zhuǎn)換，為網(wǎng)頁重要性排序問題提供了新思考方式和更有效的解決方案?！敝艽ㄕf。

“當你真正體驗到應用數(shù)學思維解決實際問題的妙處，會頓覺‘數(shù)學為自然科學之源’的論述著實精辟?！睆埥ㄕf。

（原題為《《關于加強數(shù)學科學研究工作方案》日前發(fā)布——數(shù)學思維今何在》）